《x044几何应用》PPT课件

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1、积分在几何和物理上的应用§4-4abxyo求曲边梯形面积的方法(1)分割（2）代替（3）求和（4）取极限定积分的元素法(微元法）(1)dA=f(x)dx(2)求分布不均匀的细棒质量设想把细棒分成许多小段dA=[f2(x)-f1(x)]dx1）直角坐标系情形dx一、积分在几何上应用1.平面图形的面积dA=[g2(y)-g1(y)]dydy解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量例4已知函数y=x2，在区间（0，1）上求一点t,使S=S1+S2最小？y解：S(t)=∫t0(t

2、2-x2)dx+∫1t(x2-t2)dx=4/3t3-t2+1/3S’(t)=4t2-2t=0=>t=1/2S”(1/2)>0S1S2Ot1xdA=ydxdx如果曲边梯形的曲边为参数方程解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．解曲边扇形的面积2）极坐标系情形（P222）解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积注意到：解利用对称性知例3求r=asin3所围的面积。解这是三叶玫瑰线，由sin3≥0，有由对称性双纽线笛卡儿叶形线二、平面曲线弧长的概念合理假设：弧微分弧长1）直角坐标情形解所求弧长为证根

3、据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长2）参数方程情形弧微分解：参数方程曲线弧为弧长3）极坐标情形解三、平行截面面积已知立体的体积（P223）如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图截面面积（x,y)解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积例3已知立体为以长轴a=10,短轴b=5椭圆为底,垂直于长轴的载面都是等边三角形,求其体积。解：建立坐标系：取长轴为x轴，椭圆中心为原点.垂直于x轴截面的边长：yOx立体体积圆柱圆锥圆台四

4、、旋转体的体积定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线（轴）旋转一周而形成的立体图形。xyo旋转体的体积为1）：小圆柱体法：体积元素小圆柱体：dxdy解直线方程为解例3参看教材224页解（2）小柱壳法abxyo体积元素（柱壳）体积为体积元素为小柱壳：dV=2πx

5、f(x)

6、dx(周长×高×厚)Xx+dxdy例1柱壳法利用这个公式，可知上例中解体积元素为：dx例4曲线和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。解在[1，2]上取积分元素，得例5求由曲线y=x2-2x,y=0,x=1,x=

7、3所围平面图形分别绕x和y轴旋转一周,所得的旋转体体积.xyo旋转曲面的面积为五、(P225)旋转曲面的面积曲线弧为弧微分ds例：求半径为R球的表面积解：x=Rcosty=Rsint例1解由对称性,