近似法计算自振频率

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1、12.11近似法计算自振频率近似法通常有三种途径：(1)能量法：对体系的振动形式给以简化假设，但不改变结构的刚度和质量分布，然后根据能量守恒原理求得自振频率。(2)集中质量法：将体系的质量分布加以简化，以集中质量代替分布质量，用有限自由度体系代替无限自由度体系求频率。(3)迭代法：采用近似算法求解，算出自振频率。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®12.11.1能量法求第一自振频率——瑞利(Rayleigh)法瑞利法适用于求第一自振频率；瑞利—里兹(Rayleigh-Ritz)法是其推广形式，可用于求最初几个频率。1.出发点(依据)瑞利法

2、的出发点是能量守恒原理，即一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量(应变能U与动能T之和)应当保持不变，即机械能=应变能(U)+动能(T)=常数2.位移表达式AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®梁的动能:其最大值为:4.梁的弯曲应变能AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®其最大值为5.应用能量守恒原理根据能量守恒原理，可知Tmax=UmaxAllRightsReserved重庆大学土木工程学院®由此，求得计算频率的公式为(12-124)上式就是瑞利法求自振频率的公式。6.能量法的关键能量法的关键是假设振型函数

3、：1)若假设的位移形状函数正好与第i个主振型相符，则可求得该wi的精确值。此法一般用于计算第一自振频率w1。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®2)振型函数的假定原则：应满足边界条件——两端位移边界条件(必须满足)3)通常对作如下选择：其一，选取某个静力荷载q(x)(例如结构自重)作用下的弹性曲线作为的近似表示式，由式（12-124）即可求得第一频率的近似值。此时，应变能可用相应荷载q(x)所做的功来代替，即AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®因而式(12-124)可改写为(12-125)其二，选取结构自重作用下的变形

4、曲线作为的近似表达式(注意，如果考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用)，则应变能可用重力所做的功来代替，即于是式(12-124)可改写为(12-126)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例12-34】试用瑞利法计算图12-93所示等截面两端固定梁的第一自振频率。设EI＝常数，梁单位长度的质量为。解：(1)假设振幅曲线为满足几何边界条件和力的边界条件中梁端弯矩非零的要求，但梁端剪力为零则与实际情况不符。(a)将式(a)代入式（12-124），得AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®故第一自振频率与精确值相比，其误差为+

5、1.9%。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)改取均布荷载q作用下的挠度曲线作为振型函数，这时，满足全部边界条件。将式(b)代入式（12-125），得(b)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®故第一自振频率与精确值相比，其误差为+0.4%。【讨论】由以上结果可以看出：所选的两种振型函数，或是大部或是全部符合边界处位移和力的实际情况，因此所得结果误差都很小。由于第二种振型函数更接近第一振型，所得结果精度更高。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例12-35】试用瑞利法计算图12-94a所示三层

6、刚架的第一自振频率。解：(1)选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g)，如图所示。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®于是，可得(2)求：AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(3)求Umax(用外力所做的功来代替)：(4)求Tmax：(5)由Tmax=Umax求第一频率：由式(12-126)，可得AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®故第一自振频率精确解为13.46s-1，其误差为+1.56%。【注】采用瑞利法计算w1，其计算结果一般均高于精确

7、值。这是因为假设某一与实际振型有出入的特定曲线作为振型曲线，即相当于给体系加上某种约束，增大了体系的刚度，使其变形能增加，从而使计算的自振频率偏大。因此，用这种方法所求的基本频率为真实频率的高限。在对用此法求得的近似结果加以选择时，应取频率最低者。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®12.11.2集中质量法求自振频率如果把体系中的分布质量换成集中质量，则体系即由无限自由度换成单自由度或多自由度。关于质量的集中方法很多，诸如：1)静力等效的集中质量法；2)动能等效的集中质量法；3)转移质量法等。下面，着重介绍静力等效的集中质量法。根据静力等

8、效原则，把无限自由度换成单自由度或多自由度，使集中后