《几何与代数》PPT课件

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1、§6.2空间的曲面与曲线将空间曲线c看成某两个曲面S1:F(x,y,z)=0与S2:G(x,y,z)=0的交线，则若点P(x,y,z)在曲面S上F(x,y,z)=0，则称F(x,y,z)=0为曲面S的方程。称为空间曲线c的一般方程。F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0SP(x,y,z)F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0x=x(t)y=y(t)z=z(t)曲面的一般方程:曲线的一般方程:曲线的参数方程:一、常见曲面基本问题：(1)给出图形，建立曲面方程；(2)已知坐标满足的方程，研究其表示的曲面。1.球面(1)以点P0(x0,y0,z0)为球心，

2、R为半径的球面方程(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2(2)球面方程的特点:①三元二次;②二次项x2,y2,z2前面的系数相同;③没有xy,yz,zx这类交错项。(3)由方程x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0，配方得(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=kxyzORax2+ay2+az2+bx+cy+dz+e=0(x)2+(y)2+(z)2=kb2ac2ab2a当k>0时:球面,球心(,,),b2ac2ab2a半径k当k=0时:点当k<0时:虚球面曲线C:CyzO绕z轴旋转2.旋转面母线xCyzO母线曲线C:绕z轴旋转2.旋转面绕z轴旋

3、转一周得旋转曲面S.CSM(x,y,z)NPyzOf(y1,z1)=0xM(x,y,z)S曲线C:2.旋转面母线旋转曲面的特点:母线C:S:C中轴坐标(z)不变,用另2个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中的另1个变量.反过来,方程中若有两个变量以平方和形式出现,这个方程的图形一般是旋转曲面.几种常用的旋转曲面:旋转曲面名称—与母线名称对应.zyOx绕z轴旋转(1)旋转椭球面:yxz绕y轴旋转椭圆旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线C:绕z轴旋转O(2)旋转双叶双曲面:xOy绕x轴旋转一周.双曲线旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线C:绕z轴旋转z(3)旋转单叶双曲面:a

4、0旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线C:绕z轴旋转绕y轴旋转一周.双曲线xyz(4)旋转抛物面:抛物线绕z轴旋转一周.yO旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线C:绕z轴旋转xz(5)圆锥面:直线绕x轴旋转一周.旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线C:绕z轴旋转zxyozyOxy=1x=0x2+y2=1旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线C:绕z轴旋转绕z轴旋转一周.直线(6)圆柱面:动直线平行于z轴沿着圆移动所产生的曲面3.柱面沿给定曲线C平行移动的直线L所形成的轨迹叫做柱面。其中的定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线。说明(2).可适当选取坐标系，使母线平

5、行于坐标轴。下面考察母线平行于z轴的柱面。则此柱面的方程为f(x,y)=0。母线平行于设柱面S的准线方程为f(x,y)=0z=0z轴，xzy0母线L准线CM(x,y,z)N(x,y,0)Sf(x,y)=0z=0C:M(x,y,z)SS:f(x,y)=0(母线∥z轴)圆柱面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面4.锥面直线l1绕另一条与l1相交直线l2旋转一周，所得的旋转曲面称为圆锥面。说明(3).l1与l2的交点称为圆锥的顶点，两条直线的夹角(0<</2)叫做圆锥的半顶角。说明(4).一条直线通过定点，且沿着空间中一条定曲线移动所产生的曲面叫做锥面；定曲线称为锥面的准线，定点称为锥面的顶

6、点，动直线称为母线。zOxy二.常见的曲线1.螺旋线给定一个圆柱面x2+y2=a2，动点P在圆柱面上以角速度绕z轴旋转；同时又在平行于z轴的方向，以匀速v沿母线上升。该动点的轨迹就是螺旋线。求螺旋线方程。(tRx=acosty=asintz=vt动点坐标(x,y,z)可以表示为Pyz0xatM螺线从点PQ当t从02/，图中P、Q两点间的距离N.Q称为螺距。x2+y2=a2arctanvyxz=螺线方程也可写成2.维维安尼曲线x=(1+cost)y=sintz=asina2a2t2x2+y2+z2=a2(xa/2)2+y2=a2/43.双柱面曲线y2+

7、z2=a2x2+z2=b2(ba>0)令y=acost,z=asint,代入x2+z2=b2得x=b2a2sin2t由此可得该双柱面曲线的参数方程为x=b2a2sin2t(0t<2)y=acostz=asint三.投影柱面和投影区域cS投影柱面投影曲线例10.求曲线c:x2+2y2z=02x2+y2+z3=0的投影柱面S及投影曲线c的方程。到xOy平面yxzO13QP0P分析:点P(x,y,z)在柱面S上z0使P0(x,y,z0)在c上x2+y2