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1、函数的极值及其求法最大值最小值问题第五节函数的极值与最大值最小值第三章微分中值定理与导数的应用(extremevalue)1定义极大值(或极小值),函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.极小值(minimalvalue)极大值(maximalvalue)一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义使函数取得极值的点x0(自变量)称为2函数的极大值、极小值是局部性的.在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的3定理1(必要条件)注如,(1)驻点.可
2、导函数的极值点驻点却不一定是极值点.但函数的2.极值的必要条件必是驻点,费马引理如果函数可导,处取得极值,那么回忆极值,4极值点也可能是导数不存在的点.如,但怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点单减的分界点,(2)不可导.是极小值点.是不是极值点若x0是连续函数f(x)单增、则x0必为极值点.几何上,5定理2(第一充分条件)则为极大值则不是极值.(极小值);极值的一阶充分条件3.极值的充分条件6一般求极值的步骤求导数;求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号,判别增减性;求极值.(1)(2)(3)(4
3、)不是极值点7例解(1)(2)驻点:导数不存在的点:(3)列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值.8非极值极小值不存在极大值驻点:导数不存在的点:单调增加区间:单调减少区间:9定理3(第二充分条件)极大值(极小值).极值的二阶充分条件对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点.10例解因为,11注仍用第一充分条件定理3(第二充分条件)不能应用.事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.如,分别属于上述三种情况.12例解所以,第一充分条件13充分条
4、件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值.运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时,则可用第一(1)(2)则14二、最大值最小值问题1.最值的求法15(1)其中最大(小)者求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的方法:将闭区间[a,b]内所有驻点和导数不存在的区间端点的就是f(x)最值必在端(2)点处达到.点(即为极值嫌疑点)处的函数值和函数值f(a),f(b)比较,在闭区间[a,b]上的最大(小)值.当f(x)在闭区间[a,b]
5、上单调时,16例解因驻点:导数不存在的点:17仅需计算:比较得:因是偶函数,最大值为最小值为驻点:导数不存在的点:18练习解驻点:导数不存在的点:最大值最小值最大值与最小值.19(3)对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最大(小)值.实际问题求最值应注意(1)建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最大(小)值.20例解目标函数得2.应用举例(1)(2)求最大值点半径为R.求内接于球
6、的圆柱体的最大体积,设球的设圆柱体的高为2h,底半径为r,体积为V,21圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点就是最大值点,最大体积为令得(舍去负值)唯一驻点22例敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2公里/分．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？北南西东解建立敌我相距函数关系敌我相距函数(1)23得唯一驻点北南西东24例某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套
7、公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月元，租出去的房子有每月总收入为套25（唯一驻点）故每月每套租金为1400元时收入最高.最大收入为26
