函数的极值与最值ppt课件.ppt

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1、函数的极值小结思考题作业最大值最小值问题§3.3函数的极值与最值1定义极大值(或极小值),函数的极大值与极小值统称为极值.极值点.3.3.1函数的极值1.函数极值的定义使函数取得极值的点x0(自变量)称为2函数的极大值、极小值是局部性的.在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大于某个极大值.只是一点附近的3定理3.5(必要条件)注如,(1)可导函数的极值点驻点却不一定是极值点.但函数的2.极值的必要条件必是驻点,极值,4极值点也可能是导数不存在的点.如,但怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点单减的分界点,(2)不可导.是极小值点.是不是极值点若x0是

2、连续函数f(x)单增、则x0必为极值点.几何上,5定理3.6(第一充分条件)则为极大值则不是极值.(极小值);3.极值的充分条件.),(0o0内可导的某去心邻域dxUx6一般求极值的步骤求导数;求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号,判别增减性;求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点7例解(1)(2)驻点:导数不存在的点:8非极值极小值不存在极大值单调增加区间:单调减少区间:(3)列表.求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值.9解因此10定理3.7(第二充分条件)极大值(极小值).当函数的二阶导数存在且不为零时，可用二阶导数的正负号来判断极值点.11例解因为,函数

3、的极值与最大值最大值12注仍用第一充分条件定理3.7(第二充分条件)不能应用.事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值.如,分别属于上述三种情况.13例解所以,函数的极值与最大值最大值第一充分条件14充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值.运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时,则可用第一(1)(2)则153.3.2函数的最值最值是全局性的概念，是在所考察的区间上全部函数值中的最大值（或最小值）161.最值的求法17(1)求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的方法:将闭区间[a,b]内所

4、有驻点和导数不存在的区间端点的最值必在端(2)点处达到.点(即为极值嫌疑点)处的函数值和函数值f(a),f(b)比较。当f(x)在闭区间[a,b]上单调时,18(3)若连续函数f(x)在开区间I内只有一个极值点区间I上的最大(小)值.19例解因驻点:导数不存在的点:xxxxf2)1(3132)(32231×--=¢--20仅需计算:比较得:因是偶函数,最大值为最小值为21求函数f(x)

5、x23x2

6、在[34]上的最大值与最小值解比较可得f(3)20是f(x)在[34]上的最大值f(1)f(2)0是f(x)在[34]上的最小值练习22实际问题求最值应

7、注意(1)建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最大(小)值.23例5工厂C与铁路线的垂直距离AC为20kmA点到火车站B的距离为100km欲修一条从工厂到铁路的公路CD已知铁路与公路每公里运费之比为3:5为了使火车站B与工厂C间的运费最省问D点应选在何处？DC20kmAB100km解x设ADx(km)y5kCD3kDB(k是某个正数)B与C间的运费为y则DB=100x24其中以y

8、x15380k为最小因此当AD15km时运费最省由于y

9、x0400ky

10、x15380k25例解如图,26解得唯

11、一驻点令因这样的面积有最大值,为所求.为所有三角形中面积的最大值.27三、小结极大值可能小于极小值,函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得.极值的判别法第一充分条件;极值:局部性概念;极小值可能大于极大值.极值与最值的区别最值:整体性概念.实际问题求最值的步骤.第二充分条件,注意使用条件。28思考与练习1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.292.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A30自我检测题35作业习题3.32.(2)31例某房地

12、产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月元，租出去的房子有每月总收入为套32（唯一驻点）故每月每套租金为1400元时收入最高.最大收入为33