《型曲线积分》PPT课件(I)

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1、第一节一、第二型曲线积分的概念与性质二、第二型曲线积分的计算法三、两种曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束第二型曲线积分第五章1.1对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿平面曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在oxy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“分割”“替代”“求和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1)“分割”.2)“替代”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束3)“求和”4)“取极限

2、”(其中d为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2.定义.设L为Oxy平面内从A到B的一条有向光滑曲线,L分割成n个有向小弧段，在弧段在x轴和y轴上的投影分别为在L上有界。用分点上任取一点机动目录上页下页返回结束把有向曲线第i个小作和记λ为n个小弧段长度的最大值，如果无论L怎样分割也无论点上怎样选取，极限总是存在,且为常数，则称此极限为向量值函数在有向曲线弧L上或对坐标的曲线积分,的第二型曲线积分.记作其中,L称为积分曲线或积分路径.称为机动目录上页下页返回结束被积函数,若为空间曲线弧,可定义上的第二型曲线积分称为对x

3、的曲线积分;称为对y的曲线积分.类似地,机动目录上页下页返回结束则若曲线L为一条封闭曲线时，则积分记作机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L可分成二条有向光滑曲线弧(2)用-L表示与L的方向相反的曲线弧,则则1.2两种曲线积分之间的关系设Г是空间有向光滑曲线，起点A,终点B,取以弧长s曲线Г的切向量为机动目录上页下页返回结束为参数,曲线Г的参数方程为起点A和终点B的坐标表示为方向余弦为当L为平面曲线时则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束若为空间曲线弧,记若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束

4、引例中的变力做功等于1.3第二型曲线积分的计算方法定理:在有向光滑曲线L上有定义且参数方程为则曲线积分连续,L的起点为A,终点为B，证明:存在,且有机动目录上页下页返回结束代入当L从起点A变到终点B时，参数t从α变到β，代入特别是,如果L的方程为则定理目录上页下页返回结束如果L垂直于x轴如果L垂直于y轴对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束如果Г垂直于x轴如果Г垂直于y轴如果Г垂直于z轴例1.计算其中L为(1)圆的一段弧（如图）(2)有向折线解:机动目录上页下页返回结束(

5、1)原式起点终点机动目录上页下页返回结束(2)有向折线例2.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:机动目录上页下页返回结束(1)原式(2)原式(3)有向折线原式机动目录上页下页返回结束为折线ABCOA(如图),计算解1:机动目录上页下页返回结束例3.已知为折线ABCOA(如图),计算解2:机动目录上页下页返回结束例3.已知其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例4.计算例5.

6、求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束原点O的距离成正比,例6.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到解:F的大小与M到F的方向力F的作用,求力F所作的功.机动目录上页下页返回结束二者夹角为例7.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束例8.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积

7、分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束备用题1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一质点在力场F作用下由点机动目录上页下页返回结束2.设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛

8、物线解法1取x为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束解法2取y为参数,则机动目录上页下页返回结束作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束例4.设在力场