《导数的定义》PPT课件

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1、导数的概念第二章　导数与微分7/15/20211引例导数的定义导数的几何意义导函数可导与连续的关系单侧导数导数的概念7/15/20212Newton1642—1727英国物理学家和数学家．他在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律.数学上，他与德国莱布尼兹创建了“微积分学”费尔马阿基米德Archimedes前287—前212古希腊数学家和物理学家．在数学上，他利用穷竭法解决了许多复杂的曲线或曲面围成的平面图形或立方体的求积问题．牛顿PierredeFermat1601—1665法国数学家．律师．业余研究数学．解析几何的创始人．有著名的“费尔马大定理”．1638年

2、发现求极值的方法，是微积分学的先驱．7/15/20213研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题的快慢程度．变化率问题7/15/20214引例一[变速直线运动的瞬时速度]时速度呢?如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地反映汽车每时刻的快慢程度．那么，如何计算汽车行驶的瞬7/15/20215设S是某一物体从某一选定时刻到时刻t所走过的路程，的一个函数现要求任一，时刻的瞬时速度.则S是7/15/20216很小时，以匀速代替变速，那么，内的平均速度为基本思想：7/15/20217越小，平均速度就越接近于时刻的瞬时速度令，取极限，得到瞬时速度.局部以匀速代

3、替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.7/15/20218瞬时速度一小球做自由落体运动，考察小球在研究其运动方程为秒时的.7/15/20219…[1.5,2][1.99,2][1.9999,2]0.50.010.0001…17.15019.55119.6002019.6[2,2.001]0.00119.605[2,2.01]0.0119.64922.0500.5[2,2.5]其变化情况见下表：从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段很小时，瞬时速度为即秒时的很接近某一确定的值19.6(m/s)，平均

4、速度小球在7/15/202110引例二[切线斜率]在点处的切线的斜率.求曲线割线上点沿曲线点，无限接近的极限位置对于曲线割线就是曲线在点的切线．7/15/202111曲线在点处的切线的斜率就是割线的斜率为时的极限当割线的斜率7/15/202112先以割线代替切线，算出割线的斜率，然后通过取极限，从割线过渡到切线，求得切线的斜率.7/15/202113此二例中，均匀变化与非均匀变化，局部以均匀代替非均匀平均变化率一般地,(1)(2)(3)瞬时变化率7/15/202114设函数在的某一邻域内有定义.当自变量在取得增量(点仍在该邻域内)时,因变量也取得增量如果与之比当时

5、的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值为在点处的导数，记作即二、概念和公式的引出导数也可记作7/15/202115说明一：如果存在，处导数为无穷大在处不可导则称可导与不可导如果不存在，在处可导则称如果则称在7/15/202116说明二：如果函数在区间导函数内每一点都有导数，函数在区间，导函数，即内有一也可记作，7/15/202117导数与导函数的区别与联系区别：是一常数.是一函数.联系：即函数在点处的导数就是导函数在处的值，注：通常，导函数也简称为导数．7/15/202118说明三：导数的几何意义函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处切线的斜率．7/1

6、5/202119平行于x轴的切线垂直于x轴的切线x轴切线7/15/202120说明四：若物体的运动方程为则物体在时刻的瞬时速度为路程关于时间的变化率，即速度、加速度的表示法，7/15/202121时间的变化率，物体在时刻的加速度为加速度是速度v(t)关于7/15/202122三、案例图中所显示的是某地某年中每天最高温度的函数曲线，指出大概什么时候温度的变化率为零.天天案例1[温度曲线]7/15/202123从某一时刻开始到时刻通过该导线横截面的电量为则为的函数设有非稳恒电流通过导线．案例2[电流强度]求时刻的电流强度7/15/202124案例3[冷却速度]当物体的

7、温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却.若物体的温度与时间的函数关系为请表示出物体在时刻的冷却速度？7/15/202125案例4[非均匀杆的线密度]设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为于是分布在区间上的质量m是x的函数对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度。如果细棒是不均匀的，如何确定细棒在点线密度7/15/202126总结1、导数的概念2、导数的几何意义函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处切线斜率3、导数的概念的应用电流强度、冷却速度等7/15/202127导数在初等数学中的应用一、导数在初等代数中的应用例1已知函数　　　

8、