《导数的应用》PPT课件(I)

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1、第六章一元微积分的应用一、导数的应用1、利用导数判别函数的单调性定理设在可导，若对任意都有(或），则在内是单增的（或单减的）注：在内有有限个点使不影响单调性。第六章一元微积分的应用第六章一元微积分的应用例1设在上有，则的大小顺序是（）（A)（B)（C)（D)第六章一元微积分的应用解：又于是，（B）入选第六章一元微积分的应用例2设在连续，在可导，且，单增，试证：在内也单增。证明一：令第六章一元微积分的应用而解题提示：当知道在可导，又已知时，通常用拉格朗日中值定理已知单增，即故在内单增。于是单增；第六章一元微积分的应用用拉格朗日中值定理，有证明二：对在由于单增，有第六

2、章一元微积分的应用复习：极值、驻点的概念；极值点和驻点的关系；极值点的范围；极值的两个充分条件；求极值的步骤；最值的求法。故在内单增。2、利用导数研究函数的极值与最值第六章一元微积分的应用例3已知则在处（）（A）的导数存在，且（B）取极大值（C）取极小值第六章一元微积分的应用解：不知是否可导，所以用定义判别极值。因为由极限的保号性，存在的邻域使得第六章一元微积分的应用于是故是的极大值，选（B）例4设函数有极值点和，若用表示，则（）第六章一元微积分的应用解：是极值点，所以一定是驻点即为的根，由韦达定理可知第六章一元微积分的应用微分方程例5若函数对于一切实数满足⑴若在

3、有极值，试证它是极小值；⑵若在有极值，则它是极大值还是极小值？第六章一元微积分的应用处有极值，故解：⑴由可导，且在将代入式，得故为的极小值。第六章一元微积分的应用⑵由对一切实数二阶可导，又为极值，所以故为的极小值。第六章一元微积分的应用例6由直线及抛物线围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使曲线在该点处的切线与直线及所围成的三角形面积最大。第六章一元微积分的应用解：如图切点为切线的方程为点在上，所以令得，第六章一元微积分的应用则有令得，则有于是，△的面积为令第六章一元微积分的应用（舍去）为极大值，于是，当时，三角形的面积最大。第六章一元微积分的应用3、函数作图Ⅰ、

4、图形凹凸性的判别定义1设在区间有定义，对恒有则称在上是凸的（或凹的）第六章一元微积分的应用定理1（判别定理）若在上（或），则在上是凸（或凹的）。Ⅱ、曲线拐点的求法图形的拐点。定义2函数图形的凹凸分解点称定理2（判别法1）若（或第六章一元微积分的应用不存在），当变动经过时，变号，则为拐点。内有三阶导数，且定理3（判别法2）若在的邻域则为拐点。Ⅲ、曲线的渐近线⑴水平渐近线第六章一元微积分的应用的水平渐近线。若则称为⑵铅直渐近线若则为的铅直渐近线。⑶斜渐近线若第六章一元微积分的应用则称为的斜渐近线。Ⅳ、函数作图作图程序:⑴求出定义域；⑶求渐近线；⑵判别的奇偶性和周期性；

5、⑷求，求出驻点和一阶导不存在的点；求出的点及不存在的点；第六章一元微积分的应用⑸列表，判别函数的单调性、极值、凹凸性、拐点；⑹求极值点、拐点、与坐标轴的交点等特殊点的坐标；⑺描绘曲线。第六章一元微积分的应用例7作函数的图形解：⑴定义域为⑵为铅直渐近线第六章一元微积分的应用为斜渐近线⑶令第六章一元微积分的应用⑷列表极小拐点⑸极小值为拐点为第六章一元微积分的应用⑹作图