《广义积分》PPT课件(I)

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1、二、无界函数的广义积分常义积分积分区间有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分广义积分(反常积分)§5.5广义积分三、函数和函数1设函数在无穷区间上有定义，且若极限存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分.记作:即这时也称广义积分收敛,否则发散.函数在区间上可积，定义5.5.15.5.1无穷限广义积分2类似可定义,设函数在无穷区间上有定义，设函数在无穷区间上有定义，其中为常数(通常取c=0).左端的广义积分收敛右端两个广义积分都收敛左端的广义积分发散右端两个广义积分至少有一个发散3例1.计算解xyo1A例2.计算解4

2、则有类似牛——莱公式的计算表达式:设在上连续，是的一个原函数，若记同样地：其中便于书写方便5例3证明积分发散.证：解当时,当时,例4.讨论广义积分敛散性.综上可知,当时,收敛于当时,发散，结论6当时,收敛于当时,发散，结论7例5.计算解无穷限广义积分也有换元积分法和分部积分法.连习.计算解82.无穷限积分的性质1)若收敛，2)若都收敛，则则9例6求解所以10求例7设其中是常数，解：由于所以113.无穷限积分收敛的判定(充要条件)设定理5.5.1收敛的充要条件为是有界函数.(充分条件)定理5.5.2(比较判别法)设则(1)当收敛

3、时，收敛；(2)当发散时，发散；例8证明收敛.证由于而的值是12确定的，又当时，有而且由比较判别法知，收敛，所以收敛.绝对收敛：若收敛,条件收敛：定理5.5.3绝对收敛的无穷限积分必收敛.证因为若发散，收敛，收敛收敛，又因为所以收敛.称绝对收敛；条件收敛.13例9判定的敛散性.解：因为且收敛，所以收敛，即绝对收敛.14设函数在的任意子区间上可积，即则称广义积分收敛,且(b为瑕点)，瑕积分定义5.5.35.5.2无界函数的广义积分称记号为函数上的广义积分.在并把该极限值称为函数上的广义积分,在存在,若极限对(1)称广义积分若(1

4、)式表示的极限不存在，发散.15左端的广义积分收敛右端两个广义积分都收敛左端的广义积分发散设函数在有定义，设函数在有定义，上除点类似可定义,且为瑕点)(c为瑕点)右端两个广义积分至少有一个发散以上三种积分都属于无界函数的广义积分，统称为瑕积分.16例1计算解为瑕点，则17例2.计算广义积分解:因所以注：在形式上也可采用牛顿—莱布尼兹公式的记法.18练习.讨论广义积分的敛散性.解在外连续，上除点且因所以,原广义积分发散.19当时,收敛于当时,发散.当时,当时,结论例3.讨论广义积分的敛散性.综上可知,解由于所以为瑕点.20当时,

5、收敛于当时,发散.结论例4.计算解21例5.计算解P8是瑕点，令则（课本例3）22广义积分是参变量的函数，称为函数.性质：证:(1)(2)5.5.3函数和函数注意到:定义5.5.423性质：定义5.5.5广义积分是参变量p,q的函数，称为函数.24例1例2例3例4求解25