正态分布的数字特征

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1、第二节正态分布的数字特征数学与信息技术系回顾连续型随机变量的数学期望、方差设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),X的数学期望可按下面的公式计算X的方差可按或利用简便公式因为X~,从而故正态分布的期望即E(X)=μ因为被积函数为奇函数并注意到置换积分变量分部积分公式.正态分布的方差可得从而由此可见，如果随机变量X服从正态分布，则它的概率密度完全由数学期望与标准差或者方差来决定。所以，正态分布的参数就是随机变量X的数学期望,正态分布的另一参数就是随机变量X的标准差置换积分变量正态分布的k阶中心矩k阶中心矩的定义所以当k为奇数时，因为被积函数是奇函数.当k为偶数时，因为被奇函数

2、是偶函数特别是，正态分布的四阶中心矩P83置换积分变量例设随机变量X服从N(0,1)，求随机变量函数Y=X2的数学期望和方差解本题可以用三种方法计算数学期望E(Y)法1用4.1节例2求得的Y的概率密度直接用定义，因为所以置换积分变量这恰好是X的二阶中心矩(μ=0)，因此可以直接计算法2由随机变量函数的期望定义，我们有法3：由方差的简化公式知D(X)=E(X2)-[E(X)]2E(X2)=D(X)+[E(X)]2E(X)=0，D(X)=1而E(Y)=E(X2)=1所以法1由随机变量函数的期望定义可得下面计算Y的方差，我们利用方差的简化公式D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2关键在

3、于计算E(Y2)，下面用两种方法来计算它置换积分变量法2由k阶中心矩，因为所以从而所以小结：这一讲，我们介绍了正态分布的数学期望，方差和k阶中心矩。我们知道了：如果随机变量X服从正态分布，则它的概率密度完全有数学期望与标准差或者方差来决定。并且我们通过一个例题展示了求期望和方差的方法