《拉格朗日定理和》PPT课件

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1、§1拉格朗日定理和函数的单调性一、罗尔定理与拉格朗日定理二、函数单调性的判别质来得到f在该区间上的整体性质.中值定理,就可以根据在区间上的性中值定理是联系与f的桥梁.有了返回定理6.1(罗尔中值定理)一、罗尔定理与拉格朗日定理那么在开区间(a,b)内必定(至少)存在一点,使(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间(a,b)上可导;(iii)f(a)=f(b).(1)几何意义据右图,平的.一点处的切线也是水看出,曲线上至少有的.由几何直观可以所以线段AB是水平因为点击上图动画演示f(a)=f(

2、b),(2)条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不在[0,1]上满足条件(ii)和一定成立.数在(0,1)上的导数恒为1.(iii),但条件(i)不满足,该函满足条件(i)和(iii),但条件条件(i)和(ii),但条件(iii)满足处不可导),结论也不成立.(ii)却遭到破坏(f在x=0内的导数恒为1.却遭到破坏,该函数在(0,1)-1O121234条件都不满足,却仍有f(0)=0.这说明罗尔定理的三个条件是充分条件,而不是必要条件.定理的证明因为f(x)在[a,b]上连续,所以由连续

3、函数的最大、情形1M=m.此时f(x)恒为常数,它的导函数恒f()=0.小值m.下面分两种情形加以讨论.最小值定理,f(x)在[a,b]上能取得最大值M和最等于零,此时可在(a,b)内随意取一点,就有情形2m

4、矛盾.设函数f(x)满足：定理6.2(拉格朗日中值定理)(i)f(x)在闭区间[a,b]上连续;(ii)f(x)在开区间(a,b)内可导.那么在开区间内(至少)存在一点,使得几何意义如右图，用平行推移的方法,曲线上至少在一点可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.连线的斜率为y=f(x)的两个端点A,B处的切线与AB平行,其斜率也等于曲线定理的证明设可以验证F(x)满足罗尔定理的三个条件,所以使即推论1设在区间I上的导函数,则是一个常值函数.证对于区间I上的任何两点与,,在[x1,x2]上满足拉格朗日

5、定理的条件,则有这就是说,在区间I上的任何两个值都相等,所以为常值函数.证分别按左右极限来证明.对上式两边求极限，便得例2设f(x)在区间I上可微,且,则函数f(x)在区间I上一致连续.证对于任意正数,取,对任意的只要,便有故在I上一致连续.例3求证:证设　　　　　　　显然　　在区间　上满足拉格朗日定理的条件，故有注例3中的不等号可以成为严格的.事实上,当式成立.当　时，和时,显然不为零,严格不等例4设在区间　　　上可微,且求证:证任取,由中值定理,从而因为,所以1.一般来说,中值点,仅指,而不是中

6、值点的讨论.显然,与x有关,当　　　　时,却未必也趋2.若　　　在上可微,上连续,则对任意向于.因例5设由拉格朗日中值定理变为123456789100.20.4当x趋于时,不趋于,而是趋于1.3.若f(x)在(a,b)上可微,[a,b]上连续,则对于任意,存在,使容易猜测.这实际上是不成立的.请看下面的例题.当时,必有.从等式例6设易见f满足拉格朗日中值定理的条件,约去x,我们得到因此对每个x>0,存在使由于,有因二、函数单调性的判别改为严格不等号,则相应地称它为严格增(减).下面的定理是本节中的两个

7、主要定理,今后将不若函数若“　　　”断地使用.定理6.3证定理6.4可微函数f(x)在区间I上严格递增的充即证个区间.满足的点集不含一要条件是：矛盾.充分性得证.注请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理.必要性请读者自证.在实际应用中我们经常会用到下面这个事实.性质作为应用，下面再举两个简单的例子.例7求证证恒有例8设f(x)=x3－x.讨论函数f的单调区间.解由于因此即-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.5O0.511.5复习思考题的证明相比较.罗尔定理证明的主要方法是什么?试与达

8、布定理