拉格朗日定理和函数的单调性

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1、第六章习题第一节拉格朗日定理和函数的单调性1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使：（1）（2）。2．证明：（1）方程（这里为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程（为正整数、、为实数）当为偶数时至多有两个实根；当为奇数时至多有三个实根。3．证明定理6.2推论2。4．证明（1）若函数在[]上可导，且，则（2）若函数在[]上可导，且，则；（3）对任意实数都有5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1），其中；（2），其中。6．确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）7．应用函数的单调性证明下列不等式：（1）；（2）（

2、3）。1．以记由三点组成的三角形面积，试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。2．设为上二阶可导函数，并存在一点使得。证明至少存在一点，使得。10.设函数在内可导，且单调。证明在内连续。11．设为多项式，为的重实根。证明必定是的重实根。3．证明：设为阶可导函数，若方程有个相异的实根，则方程至少有一个实根。13．设，证明方程=0不存在正根。14．证明：15．证明：若函数，在区间上可导，且，则在内有第二节柯西中值定理和不定式极限1．试问函数在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？2．设函数在上可导，证明：存在，使得3．设函数在点

3、处具有连续的二阶导数，证明：4．设，证明存在，使得5．求下列不定式极限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；6．设函数在点的某个邻域具有二阶导数，证明：对充分小的，存在，使得7．求下列不定式极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)8．设在原点的某邻域内连续，且。证明：9．证明定理6.6中，情形时的洛必达法则。10.证明：为有界函数。第三节泰勒公式1．求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式（1）（2）（3）2．按例4的方法求下列极限：（1）（2）(3)3.求下列函数

4、在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1）（2）4．估计下列近似公式的绝对误差：（1）（2）5．计算：（1）数准确到；（2）准确到。第四节函数的极值与最大（小）值1.求下列函数的极值：（1）；（2）（3）（4）2.设（1）证明：是极小值点；（2）说明的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。3.证明：若函数在点处有，则为的极大（小）值点。4.求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）（2）（3）.5.设在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点,证明：若是的极大（小）值点，则必是在I上的最大（小）值点。6.把长为的线段截为两段，问怎样截法

5、能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？7.有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？8.设用某仪器进行测量时，读得次实验数据为问以怎样的数值表达所要测量的真值,才能使它与这n个数之差的平方和为最小.9.求一正数，使它与其倒数之和最小。10.求下列函数的极值：（1）（2）；（3）；11.设在处都取得极值，试求与；并问这时在与是取得极大值还是极小值？12.在抛物线哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。13.要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=akm的B城（见图6-11），轮船运费的单价

6、是元/km，火车运费的单价是元/km()，试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。第五节函数的凸性与拐点1.确定下列函数的凸性区间与拐点:(1)(2)(3)(4)(5)2.问和为何值时,点(1,3)为曲线的拐点？3.证明：（1）若为凸函数，为非负实数，则为凸函数（2）若均匀凸函数，则为凸函数；（3）若为区间上凸函数，为上凸增函数，则为上凸函数。4.设为区间上严格凸函数。证明若为的极小值点，则为在上唯一的极小值点。5.用凸函数概念证明如下不等式：（1）对任意实数，有；(2)对任何非负实数，有6.证明：若均匀区间上凸函数，则也是上凸函数7.证明

7、：（1）为区间上凸函数的充要条件是对上任意三点，恒有（2）为严格凸函数的充要条件是8.应用詹森不等式证明：（1）设，有（2）设，有其中第六节函数图象的讨论按函数作图步骤，作下列函数图象：（1）（2）（3）（4）（5）（6）；（7）（8）。*第七节方程的近似解1．求的实根到三位有效数字。2．求方程的根的近似值。总练习题1．证明：若在有限开区间（内可导，且则至少存在一点使2．证明：若则（1）（2）3.设函数在上连续，在内可导，且。证明存在使得4.设上三阶可导，证明存在，使得5.对应用拉格朗日中值定理，试证：对有6.证明：7.求下列极限：（1）（3）8.设

8、阶连续导数，且内的泰勒公式为证明：。9.设，试问为何值时，方程存在正实根。10.证明：对任一多项式，一定存在