拉格朗日定理和函数的单调性汇总ppt课件.ppt

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1、§1拉格朗日定理和函数的单调性§2柯西中值定理及不定式极限§3泰勒公式§4函数的极值与最值§5函数的凹凸性与拐点§6函数图象的讨论第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性一问题的提出我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关

2、系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。二微分中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1预备定理——费马（Fermat）定理费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。几何解释:证明:几何解释:2罗尔(Rolle)定理证注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,例如,XY-110注2:若罗尔定理的

3、条件仅是充分条件，不是必要的.例12）唯一性由零点定理即为方程的正实根.矛盾,证：1）存在性3拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为化归证明法作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.推论1拉格朗日中值公式另外的表达方式：例2证由上式得第四节函数的单调性二单调性的判别法第四节（I）函数的单调性三单调区间求法四单调性的应用五小结与思考判断题一问题的提出1问题的提出若在区间（a,b)上单调上升若在区

4、间（a,b)上单调下降三函数的单调性2单调性的判别法定理证应用拉氏定理,得例1解例2解注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．3单调区间求法1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．2、单调区间的划分例3解单调区间为例4解单调区间为解：1）定义域为(-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f

5、'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函数的单调增区间为（-∞、1]∪[2、+∞）单调减区间为（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20练习：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。例4：解：1）定义域为(-∞、-1)∪（-1、+∞).3)列表:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函数的单调增区间为(-∞、-2)∪(0、+∞)单调减区间为（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-4单调性的应用例5证四.小结与作业1.拉格朗日中值定理及推论.2.

6、函数单调性的判定方法与步骤.3.作业：P124:1(1)~(2).2(1)~(2).3.4(1)~(3).5(1(~(2).6(1)~(4).7(1)~(3).思考判断题1区间内个别点导数为零,影响区间的单调性.3单调函数的导函数仍是单调函数。第六章微分中值定理及其应用§2柯西中值定理及不定式极限一、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数例1二、不定式极限洛必达(L’Hospital,1661-1704)定理1洛必达法则证则有辅助函数所以定义定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为

7、洛必达法则.例2解例3解例4解例5解例6解注意：1)使用罗必塔法则必须验证条件，不是未定式不能用罗必塔法则；2)罗必塔法则可以连续应用，必须步步化简（尽可能地化简）、步步验证求未定式的极限.例7定理2例8解注意3：若导数比的极限不存在，不能判断原函数极限不存在。例如，事实上例题三其他未定式例8解解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型例9解例10解例11四小结与思考判断题Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；2）利用中值定理证明等式与不等式.F

8、ermat定理四小结与思考判断题洛必达法则思考判断题思考题1拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论就可能不成立.2第六章微分中值定理及其应用§3泰勒公式一问题的提出不足问题1、精确度不高；2、误差不能估计。分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交