不等关系与不等式的性质

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1、第三章不等式（山东省嘉祥县第三中学数学组李本强）第一单元不等关系与不等式【考纲要求】了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景【方法点拨】本单元的题目中，我们常遇到分类讨论的问题，它适用于从整体上不能解决或难以解决的数学问题。运用分类讨论来解决问题时，把所给的已知条件的集合进行科学的划分十分必要，需遵循不重不漏的原则，其一般步骤为：(1)确定讨论的对象及被讨论对象的范围.(2)合理分类,统一标准,不重不漏.(3)逐类讨论,分级进行.(4)归纳总结,得出整个题目的结论.

2、在本节中含参数的不等式问题、比较大小、含参数的不等式的证明问题都会用到分类讨论思想.第一节不等关系与不等式第二节不等式的性质【目标要求】学习目标目标解读1会用不等式表示不等关系将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时,问题中关键的文字语言与对应的数学符号语言之间的正确转换,关系到是否能正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字语言与符号语言之间的转换如:大于,高于,超过(>),小于,低于,少于(<),大于等于,至少,不低于(),小于等于,至多,不超过(),实际问题中的体积,面积,长度,质量,重量,时

3、间等均是非负实数.2掌握实数的基本性质3掌握不等式的基本性质不等式的性质是解决不等式的理论依据,是不等式变形的根本,不等式的变形要注意不等式成立的条件,不可强化或弱化成立的条件,要克服“想当然”“显然成立”的思维定势.【核心知识】1.不等式的主要性质：(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则：；(4)乘法法则：；(5)倒数法则：(6)乘方法则：(7)开方法则：2.应用不等式的性质比较两个实数a,b的大小,只需作差a-b根据差的符号判断实数a,b的大小,或在a,b同号的前提下作商,根据商是大于1还

4、是小于1判断实数a,b的大小.3.应用不等式性质证明常利用分析法或综合法.15【活动思考，阅读拓展】同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘.例:(原创题)已知函数，且满足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是：　　　　　　　　.解析：待定系数法或线性规划.解:解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c≤－1①2≤4a+c≤3②由①得：1≤－a－

5、c≤2③4≤－4a－4c≤8④由③+②得：1≤a≤⑤由④+②得：≤c≤－2⑥由⑤×9+⑥得：≤9a+c≤13⑦，即≤f(3)≤13.错误的原因在于：当且仅当1=－a－c且2=4a+c时⑤式中的1=a成立，此时，a=1，c=－2；当且仅当－4a－4c=8且4a+c=3时⑥式中的=c成立，此时，a=，c=；可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。正解是待定系数得f(3)=f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤；≤f(2)≤8∴7≤f(3)≤。在此过程中虽然也

6、用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，c=－2时，不等式≤f(1)和≤f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=，c=时，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”.注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值.【重难点突

7、破】考点一:实数的基本性质(比较大小)利用作差法或作商法比较大小的原理是一样的,都是通过变形使式子转化为一次因式的乘积或平方式或进行分母(子)有理化,总之,一切变形都是为判断符号服务.例:（原创题）若，则下列不等式成立的是()解析:不等式的两边同乘以一个正数,不等号的方向不变.解:,因为,所以答案:C变式训练:（原创题）已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是()15解析:考查不等式的性质.解:满足，且，所以,b可能为0.答案:C考点二:根据条件和性质判断不等式是否成立利用不等式的性质判断不等式

8、是否成立时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,也不要想当然地捏造性质.例:（原创题）在下列命题中真命题的个数有()(1)若那么;(2)已知都是正数，并且；(3)的最大值是;(4)若，则.个个个个解析:考查不等式的性质及代数式变形能力.解:利用不等式的性质,基本不等式,代数式配方变形即可.答案:C变式训练:（原创题）“”是“且”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:特殊值举反例.解:且推出,反之不可.如:a=1,b=2,c=5,d