第二节初等几何变换

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1、第三章初等几何变换§3.1正交变换我们在日常生活中，经常要将一个物体从一个地点搬到另一地点，即我们经常要改变一个物体的位置，而其中最简单的情形有：§3.1.1平移平移即把物体沿着一个方向从一个地点推到另一地点。例1设四边形ABCD的对边AD与BC的中点分别为M、N，若AB+CD=2MN，则AB//CD。证明：把AB平移到A＇N，把DC平移到D＇N。因为AA＇NB、D＇NCD是平行四边形，且BN=NC，AM=MD，所以AA＇=DD＇，AA＇//DD＇，∠MAA＇=∠MDD＇，所以ΔMAA＇≌ΔMDD＇，故∠AMA＇=∠DMD＇，所以A＇、M、D＇共线，即NM是ΔA

2、＇ND＇的中线，由AB+CD=NA＇+ND＇=2MN知A＇、D＇只能在MN上，所以AB//MN//CD。§3.1.2旋转旋转就是把物体绕某个固定点转动一个角度。例2设有不在一条直线上的三个村庄A、B、C，现要挖一口井，问挖在何处，才能使铺向三村的输水管总长最短。解：设P是ΔABC内任一点，将ΔBPC绕B转600，得ΔBP＇C＇，那么ΔBPP＇是正三角形，所以PA+PB+PC=PA+PP＇+P＇C＇。因为C＇是固定点，故PA+PB+PC的最小值为AC＇。如图，过B作BD⊥AC＇，在AD上取一点P0，使∠BP0D=300，则P0为所求。（易知∠AP0B=∠BP0C=

3、∠CP0A=1200）例3如图，AB为⊙O的直径∠BAC=∠CAD，求证：AB+AD<2AC。证明：如图，将DAC绕C按逆时针方向旋转至BCE的位置。∵∠CDA+∠CBA=1800，∴A、B、E三点共线。∵CE=CA，BE=AD，∴AD+AB=AE

4、角形。证明：作E关于AB的对称点E＇，那么，所以。因为∠DAE=900-150=∠AEE＇，所以ΔADE∽ΔEAE＇。所以∠ADE=∠EAE＇=300，于是∠EDC=600。同理，∠ECD=600。所以ΔCDE是正三角形。例5设四边形ABCD是一个筝形，对角线AC与BD交于O，过O任作二直线，一条交AB、CD于P，Q，另一条交BC，AD于S、T，连PS，TQ分别交BD于M、N。证明：MO=ON。证明：作T、Q关于AC的对称点、，由ABCD是筝形知它们分别在AB、BC上。连，那么由塞瓦定理知、M、三点共线。因为、TQ关于AC对称，所以MO=ON。129§3.2位似

5、与相似§3.2.1位似在日常生活中，人们还经常将某些事物进行放大或缩小。其中有一种特殊处理方式是进行中心投影下的放大或缩小。如图，给出平面上的一个定点O和一个常数k，对于平面上任一点A，连OA，在直线OA上取一点A′，使OA：OA′=1：k，那么称将A变为A′的变换为以O为中心的位似变换。k>0时，O称为外位似中心；k<0时，O称为内位似中心。易知，若两个三角形的对应边平行，则这两三角形是位似的。例6证明：三角形的垂心、外心和重心共线。证明：如图，设H、O、和G分别是ΔABC的垂心、外心和重心，D、E、F分别是边BC、CA、AB上的中点。那么根据三角形的中位线的

6、性质知，ΔDEF与ΔABC是位似三角形，位似比是1/2，位似中心为G。因为O是ΔABC的外心，所以OD⊥EF、OE⊥FD，从而O是ΔDEF的垂心，所以O与H是位似下的一对对应点，所以OH通过G，即三角形的垂心、外心和重心共线，且OG：GH=1：2。例7练习1.若二圆有外（内）公切线，由外（内）切线经过外（内）位似中心。2.若二圆相交，则交点与位似中心的连线平分过两圆交点的半径所成的角。§3.2.2相似定义：在平面到自身的变换下，若任一线段与其对应线段的比是一个常数k（≠0），则称此变换为相似变换。相似比k>0时，相似变换称为同向（或真正）相似；相似比k<0时，相

7、似变换称为反向（或镜像）相似。如上图所示，对于同向相似，我们可以适当选择点O，使ΔABC经过以O为中心的位似和以O为中点的旋转后与ΔA′B′C′重合；对于反向相似，我们可以适当选择点O和直线s，且O在s上，使得ΔABC经过以s为轴的对称和以O为中心的位似后与ΔA′B′C′重合。上面所讨论的点O称为相似中心。对于同向相似，相似中心的存在性说明如下。设∽，则。129延长A′B′与BC交于M，则因为∽，所以所以，所以。同理。所以共圆；共圆；共圆。记圆与圆的另一交点为O，连。因为，所以，所以共圆。但共圆，所以共圆，即三圆共点。O点即为相似中心。例5现有某一城市的两张矩形

8、地图，一大一小，当我们将