《曲面与曲线方程》PPT课件

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1、§5曲面及其方程在前面，我们已知，空间平面对应于一个三元一次方程.反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面.如果平面的方程是(1)，其含义是平面上任意动点(x,y,z)都是(1)的解.而(1)的每一组解也对应于上某一点.(1)定义1设空间曲面S,及三元方程F(x,y,z)=0有如下关系：（1）曲面S上任一点M(x,y,z)，其坐标x,y,z都满足F(x,y,z)=0；（2）不在曲面S上任一点M(x,y,z)的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；则说明方程F(x,y,z)=0为曲面S

2、的方程.而曲面S为F(x,y,z)=0的图形.一曲面方程1、曲面方程的概念F(x，y，z)0OxyzSM(x，y，z)研究曲面的两个基本问题：（1）已知曲面，如何求曲面的方程？（2）已知方程，如何描绘其曲面？OzxyM0RM例1求以在M0(x0,y0,z0)球心,R为半径的球面的方程．解设M(x，y，z)是球面上的任一点，那么

3、M0M

4、R．由于

5、M0M

6、所以R，或(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2．这就是建立球心在点M0(x0，y0，z0)半径为R的球面的方程．特殊地，球心

7、在原点O(0，0，0)、半径为R的球面的方程为x2y2z2R2．例2设有点A(1,2,3)和B(2,1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程．解由题意知道，所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹．设M(x，y，z)为所求平面上的任一点，由于

8、AM

9、

10、BM

11、，所以等式两边平方，然后化简得2x6y2z70．这就是线段AB的垂直平分面的方程．OzxyABM解通过配方，原方程可以改写成(x1)2(y2)2z25．例3方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？这是一个

12、球面方程，球心在点M0(1，2，0)、比较：球心在点M0(x0，y0，z0)、半径为R的球面的方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2．，一般地，设有三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0，这个方程的特点是缺xy，yz，zx各项，而且平方项系数相同，只要将方程经过配方就可以化成方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2．的形式，它的图形就是一个球面．空间曲线可以视为两区面的交线，设两曲面的方程分别为：则空间曲线L的一般方程：（*）有如下关系：（

13、1）曲线L上所有点的坐标都满足（*）（2）坐标满足（*）的所有点都在曲线L上。则称方程（*）为曲面L的一般方程，而曲线L称为方程组（*）对应的曲线。例如：表示空间中的一个圆沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面，其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间上：1、柱面二、常见曲面方程类似圆柱面给出一般柱面的定义:OxyzCl母线准线Γ例4设，解：在柱面上任意取一点M(x,y,z),则M必在某条母线上，它与的交点为M1(x,y,0),从而有另一方面：若M(x,y,z)满足，则M必在经过M(x,

14、y,0)的母线上，且z=0，故所求柱面方程为，故曲面上任一点都满足【注】此表达式中，缺z。同理：以，为准线，母线分别平行于y，z轴的柱面方程分别为：其中：代表母线平行于x轴的圆柱面；代表母线平行于y轴的圆柱面；下面介绍一般锥面定义：其中定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线，构成准线的直线称为锥面的母线.(见下图)2.锥面特别，当准线为圆时就是我们常见的圆锥面.0xyzl3.旋转曲面总结：例6把椭圆绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：，绕z轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：这两种曲面均称为旋转椭球

15、面。例7把曲线绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：，绕z轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：这两种曲面均称为旋转双曲面。例8把抛物线绕x轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：，绕y轴旋转，所形成的旋转曲面的方程：这两种曲面均称为旋转抛物面。下面讨论椭球面地性质4.椭球面zxy05、双曲面显然由类似的讨论可知单叶双曲面对于三个坐标轴、三个坐标平面和原点都是对称的.(2)双叶双曲面显然双叶双曲面是关于三个坐标平面、三个坐标轴及原点对称.6.抛物面在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何求空间直线在某平面上的投影.下

16、面介绍一般的空间曲线在坐标面上的投影.设空间曲线F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,消去z，得H(x,y)=0.C:三、空间曲线在坐标面上的投影H(x,y)=0z=0即为曲线C在xoy面的投影曲线方程.【注】同理：消去x得到在yoz上面的投影方程；消去y得到在xoz上面的投影方程；例9求解：在三个坐标轴上的投影曲线练习：求球面x2+y2+z2=1.和x2+(y1)2+(z1)2=1的交线在xoy面上的投影方程.解：交线方程为x2+y2+z2=1x2+(y1)2+(z