平面向量.平面向量的数量积及向量的应用.教师版

《平面向量.平面向量的数量积及向量的应用.教师版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、同步课程．三角函数．面向量的数量积及向量的应用i平面向量的数量积及向量的应用知识回顾向量基本定理是什么？如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使．基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作．叫做向量关于基底的分解式．知识讲解一、两个向量的夹角：已知两个非零向量，，作，，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有．当时，我们说向量和向量互相垂直，记作．二、向量的数量积（内积）定义叫做向量和的数量积（或内积），记作，即1.向量内积的性质①

2、是单位向量，则；②⊥，且⊥；③，即；④；⑤．2.向量数量积的运算律12/12同步课程．三角函数．面向量的数量积及向量的应用①交换律：；．②分配律：一、向量数量积的坐标运算与度量公式①向量内积的坐标运算：建立正交基：，已知，，②用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：③向量的长度公式：已知，则，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．④两点间的距离公式：如果，，则．⑤两个向量夹角余弦的坐标表达式：12/12同步课程．三角函数．面向量的数量积及向量的应用题型一、数量积的运算【例1】已知向量，，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解得【例2】

3、已知，，与的夹角为，求；【答案】3【解析】原式【例3】若、、为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】因为，而；而方向与方向不一定同向．【例4】等边的边长为，则【答案】．【解析】∵向量与的夹角为，∴【例5】设是单位向量，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D；【解析】．【例6】若向量,满足，与的夹角为，则（　　）A．B．C.D．2【答案】B【解析】，故选Ｂ．12/12同步课程．三角函数．面向量的数量积及向量的应用【例1】直角坐标平面上三点、、，若为线段的三等分点，则．【答案】；【解析】题型二、向量求模

4、【例2】已知，，且．⑴求的值；⑵求的值．【答案】（1），（2）【解析】⑴，∴⑵【例3】已知与的夹角为，那么等于（）A．2B．C．6D．12【答案】B.【例4】设是边长为1的正三角形,则=.【答案】【解析】=题型三、向量夹角和向量垂直【例5】，，，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设所求两向量的夹角为，∵，，∴，∴，即，∴．12/12同步课程．三角函数．面向量的数量积及向量的应用【例1】设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围．【答案】【解析】，的夹角为钝角,解得或（1）又由共线且反向可得（2）由（1）,（2）得的

5、范围是【例2】给出命题：⑴在平行四边形中，.⑵在中，若，则是钝角三角形.⑶，则以上命题中，正确的命题序号是．【答案】⑴⑵⑶【解析】⑴平行四边形法则，因此正确；⑵，∴，∴是钝角三角形；⑶，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直，∴．【例3】已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．【答案】【解析】由题意可得：化简得：……①化简得：……②两式相减得：，代入①或②得：，设的夹角为，则∴，即与的夹角为．【例4】已知，，且，则【答案】【解析】答案：，又12/12同步课程．三角函数．面向量的数量积及向量的应用∴，解得：【例1】在中，，，求值．【答案】【解

6、析】当时，，∴，∴，当时，，，∴，∴，当时，，∴，∴．【例2】已知点和，试推断能否在轴上找到一点，使？若能，求点的坐标；若不能，说明理由．【答案】不存在【解析】令，则，，因为，所以，即，得，此方程无实数解，所以这样的点不存在．题型四、向量的应用【例3】已知，是两个向量集合，则（）A．B．C．D．【答案】A；因为，由可得，故．【例4】已知向量，，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A又所以选A【例5】已知点，，，且．⑴若，求与的夹角；12/12同步课程．三角函数．面向量的数量积及向量的应用⑵若，求的值．【答案】（1），（2）⑴∵，即，∴．

7、又，．又，∴与的夹角为．⑵，，∵，∴，∴，①∴，∴，∵，∴．又由及，得，②由①②得，，∴．【例1】一条河的两岸平行，河宽，一小船从处出发航行到对岸，小船速度为，水流速度为．（1）当之间的夹角为多少时，小船才能到达正对岸处，此时位移的大小，方向怎样？时间是多少？（2）当之间的夹角为多少时，小船航行的时间最短？此时位移的大小方向怎样？时间是多少？【答案】（1）要小船到达正对岸处，即要求合速度的方向与河岸垂直．如图，设，合速度，这时位移就是向量，大小等于，方向与河岸垂直，由，得时间（秒），，所以这时之间的夹角为．12/12同步课程．三角函数．面向量的

8、数量积及向量的应用（2）由物理知识易知，当的方向直指对岸，即时，小船航行的时间最短，此时位移向量的大小，方向与河岸上游方向成所成的角，这时时间（秒）．