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1、柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．(1)分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(用表示第i个子域的面积).将域D任意分为n个子域(2)近似代替(3)求和(4)取极限步骤２.求平面薄片的质量设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.将D分割成n个小块(2)近似代替(1)分割(3)求和(4)取极限二、二重积分的概念这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于的极限存在,极限为函数二重积分,记为即(4)积分区域积分和被积
2、函数积分变量被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．(3)可积的必要条件:若f(x,y)在D上可积,则f(x,y)在D上有界.(2)可积的充分条件:若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D上可积.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为例设D为圆域二重积分=解上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：RD性质１(线性性质)（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重
3、积分的性质性质2对区域具有可加性性质3若为D的面积，性质4若在D上特殊地则有性质5性质6（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）例的值=().(A)为正(B)为负(C)等于0(D)不能确定为非正B解选择题比较(D)无法比较.oxy1••1•2C(2,1)•性质4(比较性质)的大小,则()选择题(A)(B)(C)(D)提示:B是有界闭区域D:上的连续函数,不存在.利用积分中值定理.补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.oxyD1性质7则D1为D在第一象限中的部分,对称性质坐标y为奇
4、函数则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数oxyD1如果函数f(x,y)关于坐标x则为偶函数则类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中的部分,设D为圆域(如图)00D1为上半圆域D2为右半圆域解由性质得例今后在计算重积分利用对称性简化计算时,注意被积函数的奇偶性.积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:二重积分的定义二重积分的性质二重积分的
5、几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结(A)(B)(C)(D)0.A为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,思考题D1D2D3D4记I=则I=I1+I2,其中I1=I2=而I1=D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数而I2=是关于x的偶函数,关于y的奇函数.所以D1D2D3D4
