空间向量的坐标运算11

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1、3.1.4空间向量的直角坐标运算空间向量分解定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc.定理这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k}这个基底叫做单位正交基底,单位向量i,j,k都叫做坐标向量.一、空间向量的直角坐标运算1.空间直角坐标系与原点:O-xyz2.坐标向量:3.坐标平面通过每两个坐标轴的平面，分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.4.右手直角坐标系i,j,k建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,

2、j,k.空间直角坐标系中的坐标横坐标a1，纵坐标a2，竖坐标a3.a=a1i+a2j+a3k在空间直角坐标系Oxyz中,已知任一向量a,根据空间向量分解定理,存在唯一数组(a1,a2,a3),使a1i,a2j,a3k分别为向量a在i,j,k方向上的分向量,有序数组(a1,a2,a3)，叫作向量a在此直角坐标系中的坐标.记作a=(a1,a2,a3)以建立空间直角坐标系O—xyz若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，

3、则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)，a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)，λa=(λa1，λa2，λa3)(λ为实数)，a•b=a1b1+a2b2+a3b3.则(x，y，z)就是P的坐标,即P(x，y，z).在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点P,相对与原点确定了一个向量OP，设OP=xi+yj+zk设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)AB=OB-OA=(x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点

4、的坐标减去起点的坐标.中点坐标公式A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)设M为AB中点，M点坐标为M(x0,yo,zo)，其中x0=(x1+x2)/2，y0=(y1+y2)/2，z0=(z1+z2)/2.a∥b<=>a1a2a3b1b2b3二、空间向量平行和垂直的条件a∥b(b≠0)<=>a=λb即a∥b(b≠0)<=>a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3,a•b=0共线垂直a┻ba1b1+a2b2+a3b3=0a┻b例1已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,求:p,

5、q,p•q.解:p=a-b=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1)，q=a+2b-c=(1,1,0)+2(0,1,1)-(1,0,1)=(0,3,1)，p•q=(1,0,-1)•(0,3,1)=10+03+(-1)1=-1.例题例2已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2),求向量n使n⊥a,且n⊥b.解:设n=(x,y,z,)则n•a=(x,y,z,)•(-2,2,0)=-2x+2y=0n•b=(x,y,z,)•(-2,0,2)=-2x+2z=0所以y=x,z=x于是n=(x,x,x)=x(1,1,1),显然

6、当x取任意实数时,可以得到无数个向量都满足题意.三、两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).空间两点间的距离公式例3已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求线段AB的中点坐标和长度.zxyoA(3,3,1)B(1,0,5)M解：设M(x,y,z)是AB的中点，则OM=(OA+OB)AM=MB例4已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.解：设点P到A，B的距离相等，则化简，得4x+6y-8z+7=0.即到A,B距离相等的

7、点的坐标（x,y,z)满足的条件是4x+6y-8z+7=0.例5在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1E1=D1F1=求BE1与DF1所成的角的余弦值.ABCDA1B1C1D1E1F1xyz解析：不妨设正方体的棱长为1；以D为原点O建立空间直角坐标系O-xyz.OB(1，1，0）（1，，1）E1D(0，0，0）F1（O，，1）BCC1A1B1ANM课本：P94练习P97练习课后作业