第5章微分方程及差分方程初步习题解

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1、第5章微分方程及差分方程初步习题解5-1下列方程哪些是微分方程，？若是微分方程请指出它的阶。（1）（2）（3）（4）（5）（6）解（1），（2），（3），（5），（6）是微分方程。（1），（3），（6）是一阶微分方程。（2），（5）是二阶微分方程。5-2已知微分方程，下列各函数是不是它的解？是不是它的通解？（）（2）（3）（4）解（1），（2），（3）是解，其中（1），（3）是特解，（2）是通解，（4）不是解。5-3验证是方程的通解（为任意常数），并求满足初始条件的特解。解将代入方程的左边，，故是方程的通解。在中，令，得,满足初始条件的特解。5-4验证

2、是方程的通解（，为任意常数），并求满足初始条件，的特解。解364故是方程的通解。，即5-4设曲线在点处切线斜率等于该点横坐标的平方，写出该曲线所满足的微分方程。解5-6解下列各微分方程。（1）解即（2）解(3)解（4）364解（5）解（6）解1令解2（7）解令（8）解令364（9）解令注释：若令则有积分较为麻烦。一般，若令，积分较为麻烦，可改令。（10）解令注释：若将方程改写为，可按贝努利方程的解法解。5-7求下列微分方程的特解。（1）解364代入(2)解代入（3）解代入（4）解代入（5）解令364代入注释:参见5-6（9）解的注释。（6）解令代入5-

3、8解下列各微分方程。（1）解令令（2）解（3）解令364令注释：对于一阶线性微分方程，不管用常数变易法，还是使用求公式，的系数一定要是1，如果不是，要把的系数化为要是1。（4）解令令（5）解令令注释：如果把原方程化为，则此方程既不是线性方程，也不是可分离变量的方程。参见课本例5-16.（6）364解令5-8求下列微分方程的特解。（1）解令令错误！链接无效。令（2）解代入（3）解令令364代入（4）解，使代入5-8什么叫函数，线性无关与线性相关？分别判断下列每组函数是否线性相关。（1），（2），（3），（4），解设与是定义在某个区间上的两个函数，如果存在

4、两个不全为零的常数和，使在区间上恒成立，则称函数与在区间上线性相关，否则称为线性无关。（1），（2），（3）线性无关，（4）线性相关。5-11验证函数是方程的通解。解364结论成立。5-12已知，是微分方程的两个特解，试写出该方程的通解，并求满足初始条件的特解。解常数，故与线性无关，该方程的通解为满足初始条件的特解为5-13已知，，是微分方程的三个特解。其中和均为已知的连续函数，试写出该方程的通解。解和是的两个线性无关的特解故的通解为5-14已知的一个特解为;的一个特解为。试写出的一个特解。解的一个特解为。3645-15（1）若，证明方程有一个特解。若

5、，证明方程有一个特解。（2）根据（1）的结论求满足初始条件，的特解证（1）故方程有一个特解。故方程有一个特解。（2）可化为由结论（1）是的一个特解。又因为由结论（1）是的一个特解。的通解是代入初始条件，满足初始条件，的特解是5-16下列微分方程的通解。（1）364解通解（2）解通解（3）解通解（4）解通解(5)解通解（6）解通解5-17求下列微分方程的特解。（1）解通解364所求特解为（2）解通解所求特解为（3）解解通解所求特解为5-16求下列微分方程的通解。（1）解不是特征方程的解设特解364将，，代入微分方程，有原方程通解（2）解设由于不是特征根，

6、设，所以是方程的特解，方程的通解为解2因为不是特征根，设是方程的特解，，364，所以是方程的特解，方程的通解为（3）解由于是特征方程的单根，设特解原方程的通解为（4）解由于是特征方程的单根，设原方程的通解为（5）解不是特征方程的解设特解原方程通解（6）364解由于是特征方程的单根，设原方程的通解为（7）解1由于不是特征方程的根，设是方程的特解通解为解2由于不是特征方程的根，设是方程的特解，364代入原方程有通解为（8）解先求的特解不是特征方程的根设再求的特解设通解为5-19求下列各微分方程的通解或特解。（1）解（积分两次）（2）解（积分三次）364（3

7、）解方程中不显含设（4）解方程中不显含设（5）解方程中不显含设364（6）解方程中不显含设（7）解方程中不显含设代入代入（8）解方程中不显含设（由初始条件，舍负）364代入，代入5-20已知曲线过点，并且在曲线上任何一点处的切线斜率等于自原点到该切点连线的斜率的两倍，求此曲线。解依题意，有令代入5-21已知一曲线通过坐标原点且它在点处的切线斜率等于，试求该曲线的方程。解依题意，有令代入5-22已知某商品的收益随需求量的增加而增加，其增长率为且，试求收益函数。解代入364另解令代入5-23在商品销售预测中，时刻的销售量用表示，如果商品销售的增长速度（即边

8、际销售）正比于销售量与销售接近饱和水平的程度之乘积（为饱和水平），求销售量函数。解5-24设某