第5章 微分方程与差分方程

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1、第5章微分方程与差分方程重点：微分方程的解法难点：建立微分方程模型5.1微分方程基础5.1.1实际背景建立这一问题的数学模型如下：微分方程初值条件指数增长模型设人口数量N(t)的增长速度与现有人口数量成正比,求N(t).(P247)设开始时人口数量为N0,年增长率为r,建立这一问题的数学模型如下：微分方程初值条件5.1.2基本概念定义凡含有自变量、未知函数及其微商(或微分)的方程,称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,否则称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，以后所说的微分方程都是指常微分方程.微分方程中未知函数微商的最高阶数称为微分方程的阶.线性微分方程未知函

2、数及其各阶微商都是一次的微分方程称为线性微分方程.回答这个问题并不重要,重要的是要会求解它,它可变形为微分方程的解微分方程的解是指能使微分方程成为恒等式的已知函数.微分方程的通解：含有n个相互独立的任意常数的解,其中n是微分方程的阶数.初值条件：确定通解中n个任意常数的条件.微分方程的特解：满足初值条件的解.5.2一阶微分方程5.2.1可分离变量的微分方程形如dydx=h(x)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程.5.2.2齐次(微分)方程12ln(u2+1)+arctanu=lnx+lnC12ln(u2x2+x2)+arctanu=lnC练习求初值问题y'=+,y(1)=

3、2的解.xyyx5.2.3一阶线性微分方程微分方程.解法：先求解相应的齐次线性微分方程分离变量,得两边积分后,得由此得常数变易法由此解出一阶线性微分方程的求解技巧这种方法的优点是无需记公式，而且比公式法的计算量小.练习解下列微分方程可化为一阶线性微分方程分析这种类型微分方程的特点是,其中有一个变量是一次的.令x=C(y)y代入(*)得原方程的通解为x=y3/2+Cy.贝努利方程(P259-260)5.2.4微分方程的应用(连续模型)微分方程在实际中的应用是十分广泛的.如何把实际问题转化为微分方程模型？大多数情况下所研究的变量是随时间而变化的,建立微分方程模型的关键,是要弄清楚该变量

4、的变化率(微商)与该变量之间的关系.在求解微分方程时,要注意其初值条件.求解得到结果时，一般要解释结果的实际意义.例如指数增长模型比较适用于短期预测,而不太适用于长期预测,因为当时间变量趋于无穷大时，所研究的变量趋于无穷大,这与实际是不相符的.阻滞增长模型(Logistic模型)这就是非常著名的Logistic增长模型(即阻滞增长模型).阻滞增长模型用途十分广泛,除了用于预测人口增长外,也可完全类似地用于虫口增长、疾病的传播、谣言的传播、技术革新的推广、销售预测等.药物总量模型这类模型研究在一个容器内物质总量随时间而变化的情况,目标是测定某一时刻物质在容器内的总量.依据是物质总量的

5、变化率等于物质进入容器的速率减去物质离开容器的速率.(P262)5.3二阶微分方程5.3.1可降阶的二阶方程代入原方程,然后求解一阶微分方程可降阶的二阶方程⑴解得C(x)=2x2+C,从而p=2x+C/x.可降阶的二阶方程⑵积分得arctany=x+C,由y(1)=0得y=tan(x1)5.3.2二阶常系数线性微分方程线性微分方程解的结构二阶常系数齐次线性微分方程⑴二阶常系数齐次线性微分方程⑵代入(*)得为了简便,取u=x,则是(*)的通解.二阶常系数齐次线性微分方程⑶二阶常系数齐次线性微分方程的通解练习解下列方程⑴y''2y'3y=0⑵y''+2y'+y=0⑶y''+2y'

6、+5y=0二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式5.4差分方程5.4.1差分方程基础5.4.2一阶常系数线性差分方程形如5.4.3二阶常数线性差分方程二阶常系数非齐次线性差分方程5.4.4差分方程的应用(离散模型)令yn=0得离散阻滞增长模型市场经济中的蛛网模型稳定的蛛网模型fgOpqp0q0q1p11q22p23q34p35q46不稳定的蛛网模型fgOpqp0q0q1p112q23p24q3p356q4第5章重要概念与公式通解,特解,初值条件,线性微(差)分方程一阶微分方程的解法可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程二阶微分方程的解法可降阶的二阶微分方程二阶常系数齐次线

7、性微分方程线性微(差)分方程解的结构非齐次通解=非齐次特解+齐次通解参数方程微商复习隐含的初值条件综合应用题解此微分方程得