维势场中能量本征态的一般性质

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1、量子力学光电子科学与工程学院王可嘉第五讲一维势场中能量本征态的一般性质有限深对称方势阱中的束缚态1第5讲目录一、再论正交、归一、完备态二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质三、有限深对称方势阱中的束缚态2一、再论正交、归一、完备态（1）态叠加原理：任意量子态可按任意一组正交、归一、完备态矢量来分解，即：3一、再论正交、归一、完备态（2）以一维无限深方势阱中粒子的波函数为例：由由傅里叶级数可知：在内，任意奇函数可展开为：完备4一、再论正交、归一、完备态（3）数学上：为完备性。物理上：是无限深方势阱中的波函数，为态叠加原理的体现。由能量本征方程确定，构成了体

2、系的基矢量。如何确定？5一、再论正交、归一、完备态（4）证明：由其中：6一、再论正交、归一、完备态（5）处于谐振子势中的粒子，由能量本征方程确定的分立波函数：构成一组正交、归一、完备的基矢。这是由的正交、归一性得到的。可以证明：具有完备性，即可将任意函数用展开：即：根据态叠加原理：就是粒子在谐振势下的态。7一、再论正交、归一、完备态（6）结论：由能量本征方程解出的，通常被称为态矢量，也称基矢，它们是正交、归一、完备的。无论在无限深方势阱还是谐振子中，粒子的量子态都可以用这一组正交、归一、完备的基矢展开：其中展开系数：粒子处于某一态矢的概率为：同时要注意：

3、也是粒子具有态矢对应的能量的概率。8二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(1)1、定态：薛定谔方程：若不显含，则有若已知时体系处于某一个能量本征态，则在后，体系状态为通常称这样的态为定态。由定态描述的粒子状态，测量其能量时，得到确定值。2、简并：如果系统的能级是分立的，即，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。9二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2)例一、一维无限深方势阱中粒子的能量本征值和本征态为：一个能量本征值对应一个本征态：非简并例二、一维谐振子的能量本征值和本征态为：一个能量本征值对应一个本征态：非简并1

4、0二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(3)3、宇称：函数在空间反演下表现出的特性。定义空间反演算符：若：则称具有确定的偶宇称奇宇称例：偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称！11二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(4)4、定态薛定谔方程设质量为的粒子沿轴运动，势能为一般情况下：若，则时，粒子处于定态：则有：粒子波函数所满足的方程为：称其为定态薛定谔方程，也就是能量本征方程。12二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(5)七个定理：定理1：设是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为，则也是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为。【证】对

5、能量本征方程取复共轭，并注意到，有：所以也是能量本征方程的一个解，其对应的能量本征值为。13二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(6)推论:对应于能量的某个本征值，若对应的能量本征方程的解不简并，则这个解可取为实函数。【证】：是能量本征方程对应的一个解，根据定理1，也是对应的一个解，若能级不简并，则和对应的是同一个量子态：所以为实函数。14二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(7)定理2：设是能量本征方程的一个解，对应于能量的某个本征值，总可以找到能量本征方程的一组实解，凡是属于的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。【证】设是能量本征方程属于的解

6、，如果实数域，不谈。如果复数域，由定理1，也是能量本征方程属于的解。15二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(8)根据线性微分方程的叠加原理，这两个函数也是方程属于的解，即：得证。令：均为实数函数，从中可得到：16二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(9)定理3：设具有确定的偶宇称，即如果是能量本征方程对应于能量本征值的解，则也是方程对应于的解。【证】是方程的解，令注意到，有：也是方程对应于的解。17二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(10)推论:设是能量本征方程对应于能量本征值的解，如果，若无简并，则具有确定的宇称。【证】由定理3，若，则和都是

7、方程属于的解，无简并，则和必然对应同一量子态，即：另一方面，但具有确定的宇称。18二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(11)定理4：设，则对应于任何一个能量本征值。总可以找到能量本征方程的一组解，其中的每个解都有确定的宇称，而属于的任何解，都可用它们来展开。【证】设是能量本征方程属于的解，由定理3，也是方程属于的一个解。令：则和也是方程属于的解，且具有确定的宇称。属于的解和可以用和来展开：19二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(12)定理5：20二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(13)推论:21二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(14)

8、定理6：22二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(15)定理7：设粒子在无奇点