考研数学]北京航天航空大学线性代数6-3正定二次型

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1、第三节正定二次型对二次型f(x1,x2,…,xn)经过满秩变换后可化为规范形为讨论其性质,在应用中对二次型进行以下分类.定义设f(x1,x2,…,xn)=xAx为实二次型,若对于任意非零实向量x=(x1,x2,…,xn),都有f=xAx>0,称f为正定二次型,对称矩阵A称为正定矩阵.f=xAx<0,称f为负定二次型,对称矩阵A称为负定矩阵.f=xAx0,称f为半正定二次型,A为半正定矩阵.f=xAx0,称f为半负定二次型,A为半负定矩阵.若存在非零向量x1,x2,使得f=x1Ax1>0,f=x2Ax2<0,称f为不定二次型.例1设A为mn的实矩阵,证明(1

2、)AA(或AA)是实对称矩阵.(2)二次型f=x(AA)x为半正定二次型.(3)当R(A)=n时,f=x(AA)x为正定二次型.证明(1)显然.(2)x0,有Ax=0或Ax0,于是f=x(AA)x=(Ax)Ax0,因此f半正定.(3)当R(A)=n时,方程组Ax=0只有零解,x0,Ax0,这样f=x(AA)x=(Ax)Ax>0,因此f正定.例2判断实二次型的类型.解取x1=(1,0),x2=(1,-1),有因此由定义f是不定二次型.问题：如何判定所给定的二次型的类型?定理3.1设n元实二次型f=xAx的秩为r,正惯性指数为p,则f为

3、正定二次型p=r=n,即标准形中有n个正项;负定二次型p=0,即标准形中有n个负项;半正定二次型p=r0(i=1,2,…,n).显然代入(1)右端,总有f>0.由x=Cyy=C-1x.将它视为系数矩阵为满秩矩阵C-1的非齐次方程组,由克莱姆法则,对任意非零向量y,有唯一的非零向量与之对应.由y0的任意性,因此x0任意,因此恒有f=xAx>0,这样f正定.()反证.若f

4、正定,但标准形不是(1),即p0.x(kA)x=kxAx>0(k>0).(2)x(CAC)x=(Cx)A(Cx)>0.(Cx=y0)注CAC与A的正定、负定或

5、不定一致(合同变换保秩、保正、负惯性指数).性质2若A=(aij)nn是正定矩阵,则aii>0(i=1,2,…,n).证明由定义,A正定,因此x0,xAx>0.取则注(1)反之不成立.例2中a11>0,a22>0,但不是正定矩阵.(2)可用来判断二次型不是正定的.例3a22=2<0,因此A不是正定矩阵.另外令则是不定二次型.(3)若A=(aij)nn是负定矩阵,则aii<0(i=1,2,…,n).性质3A是正定矩阵存在实满秩矩阵C,使得CAC=E.即A∽E.A是负定矩阵A∽E.性质4A是正定矩阵A=BB,其中B是实满秩矩阵.证明()A正定A与单位矩阵

6、E合同.存在满秩矩阵C,使得CAC=EA=(C)-1EC-1=(C)-1C-1,令B=C-1即可.()A=BBA=BEB(B满秩)A正定.性质5A是正定矩阵

7、A

8、>0.证明由性质4,A正定,则存在满秩矩阵B,使得A=BB.因此

9、A

10、=

11、B

12、

13、B

14、=

15、B

16、2>0.注性质5为必要条件.A负定时不一定有

17、A

18、<0.例如负定.但

19、A

20、=1>0.性质6A为正定矩阵A的所有顺序主子式皆大于零.顺序主子式A负定A正定.A负定A的奇数阶顺序主子式小于零,偶数阶顺序主子式大于零.性质7A正定A的特征值全为正数.例4判断实二次型是否正定.判断方法1.顺序主子式(

21、性质6)2.标准形(定理3.1)3.特征值(性质7)解方法一二次型所对应的矩阵为三个顺序主子式1>0,由性质6,f是正定二次型.方法二用配方法将所给二次型化为标准形令为满秩变换.得正惯性指数p=3=n,得f正定.方法3特征值f(0)=1,f(1)=4,f(2)=1,f(4)=3,f(5)=16.由零点定理,f()=0有三个正根.f正定.练习判别二次型是否正定.正定(性质6)例5求的值,使实二次型为正定二次型,并讨论2的情形.解二次型对应矩阵令它的各阶顺序主子式大于0得<