[考研数学]北京航天航空大学线性代数6-2二次型的规范形.ppt

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1、第二节二次型的规范形§1讨论了任意一个二次型经过满秩线性变换可化为标准形,且标准形不唯一.即任意一个对称矩阵可用合同变换化为对角形矩阵,并且对角元不唯一.而对角形矩阵的秩等于它的对角线上不为零元素的个数r.再者合同变换是保秩变换,因此原对称矩阵的秩也是r.这样,在一个二次型的标准形中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所进行的满秩线性变换无关.本节分别在复数域和实数域中进一步讨论标准形的唯一性问题.一复数域设f(x1,x2,…,xn)是复数域上的二次型,经过满秩变换化为标准形其中r是二次型f的秩,rn.作满秩变换二次型化为称为复二次型的规范形

2、.显然复二次型的规范形完全由原二次型的秩决定.定理2.1任何复系数二次型经过适当的满秩线性变换可化为规范形,且规范形是唯一的,由二次型的秩决定.用矩阵表示复数域上的对称矩阵合同于形式为的对角形矩阵,1的个数为对称矩阵的秩.两个同阶复对称矩阵合同秩相等.二实数域设f(x1,x2,…,xn)是实二次型,经过线性变换及顺序调整后可化为其中di>0(i=1,2,…,r),即上式中有p项为正,rp项为负.令实二次型可化为称为实二次型的规范形.定理2.2任何实二次型经过满秩线性变换总可化为规范形,且规范形是唯一的.证明只需证明规范形唯一,即p的个数确定.反

3、证法若规范形不唯一.设存在两个实满秩线性变换x=By,x=Cz将实二次型f(x1,x2,…,xn)分别化为两个规范形.其中pq,不妨设p>q.由假设得(*)由x=By,x=Cz得z=C-1By,令C-1B=(gij)nn,得z1,z2,…,zn与y1,y2,…,yn的关系为作齐次方程组此方程组必有非零解,令显然有kp+1=…=kn=0,而k1,k2,…,kp不全为零,因此方程组的解为代入等式(*)左端得通过变换z=C-1By代入右端得产生矛盾.说明p>q不成立.同理q>p不成立,因此p=q.因此唯一性成立.定义在实二次型标准形或规范形中,正平方

4、项的个数p称为正惯性指数,负平方项的个数rp称为负惯性指数.它们的差p(rp)=2pr称为符号差.惯性定理定理2.2实二次型经过是满秩线性变换化为标准形时,其秩r,正惯性指数p及负惯性指数rp都是唯一的.矩阵描述实对称矩阵A合同于对角阵D,D的主对角元素不为零的个数r,正数个数p,负数个数rp唯一.根据惯性定理,实二次型的正、负惯性指数与其秩一样,也是满秩线性变换下的不变量.因此虽然实二次型的标准形不唯一,但标准形中总项数r,正项个数p都是唯一的.可得两实对称矩阵合同其秩相等,正惯性指数相等.