理工线代期末A卷答案

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1、福州大学阳光学院考试答案及评分标准专用纸2011年——2012年第一学期（期末考试）一、填空题（本题总计30分，每小题3分）二、选择题（本题总计10分，每小题2分）三、计算题（本题总计20分，每小题10分）1.解：=………………4分=………………4分=……………………2分2.解：……………………2分……………………1分故……………………5分故……………………2分四、计算题（本题总计30分，每小题10分）1.解：方程组的系数行列式……………………2分（1）当，方程组有唯一解……………1分（2）当时，方程组的增广矩阵……………………………………1分此时R(A)=2

2、…………………1分（3）当时，方程组的增广矩阵……………………………………1分此时R(A)=R(A,b)=1<3,故方程组有无穷多解……………1分其等价方程组为令……………………………1分对应的导出组等价于，令得基础解系为：……………………………1分故当时，方程组的通解为：……………1分2.解：设则…………………………4分（1）故，故线性相关…………………2分（2）故，向量组的秩为2.…………………1分则是向量组的一个极大无关组…………………1分且，…………………2分3.解：（1）方阵的特征多项式为：=0得方阵A的特征值分别为：………………3分当时，解方程令，由得基础解系为：，………………1分

3、则的全部特征向量为………………1分(三个全部特征向量都有表达，统一给1分)当时，解方程令，由得基础解系为：，………………1分则的全部特征向量为当时，解方程令，由得基础解系为：，………………1分则的全部特征向量为（2）是互不相同的特征值，两两正交………………1分单位化得,………………1分使得………………1分五、证明题（本题总计10分，第1题4分，第2题6分）1.证明：设n阶对角矩阵,………………1分则方阵的特征多项式为：………………2分得对角矩阵A的n个特征值分别为：……………1分∴n阶对角矩阵A的特征值为n个主对角元素.2.证明：①线性无关∴线性无关………………2分线性相关∴可由线性表示………

4、………2分②（反证法）假设能由线性表示可由线性表示∴能由线性表示，与线性无关矛盾∴假设不成立.………………2分注意事项：1.客观题注明每题的总分，每小题的分数。2.主观性试题必须注明得分点及分值。