《系统微分算子方程》PPT课件

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1、第2章连续信号与系统的时域分析2.1连续时间基本信号2.2卷积积分2.3系统的微分算子方程2.4连续系统的零输入响应2.5连续系统的零状态响应2.6系统微分方程的经典解法2.3.1微分算子和积分算子p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。2.3系统的微分算子方程例：以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则性质1性质2微分算子的运算性质微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。也不能由方程通过直接消去方程两边的公

2、因式(p+a)得到y(t)=f(t)，因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是性质3例如，方程性质4设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式但是2.3.2LTI系统的微分算子方程对于LTIn阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为用微分算子P表示可写成或缩写为微分算子方程传输算子传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。用H(p)表示的系统输入输出模型例2.3–1设某连续系统的传输算子为写出系统的输入输出微分方程例2

3、.3–2已知系统框图，求系统的传输算子。解设中间变量x(t)，左端加法器列方程右端加法器2.3.3电路系统算子方程的建立表2.2电路元件的算子模型在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的电流或电压为系统响应。例2.3–3电路如图所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。解由节点电压法列出u1(t)的方程为例2.3–4如图所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。解：列出网孔电流方程如下2.4.1系统初始条件根据线性系统的可分解性，LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，即分别令t=0-和t=0+，可得2.4连

4、续系统的零输入响应对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0+)=yx(0-)。故同理，可推得y(t)的各阶导数满足系统的0-和0+初始条件2.4.2零输入响应算子方程设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且系统的特征多项式y(t)和f(t)满足的算子方程为yx(t)满足的算子方程为系统的特征方程：2.4.3简单系统的零输入响应简单系统1若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根p=λ。两边乘以，并整理得简单系统2若A(p)=(p-λ)2，则yx(t)=(c0+c1t)

5、eλt。由于即两边乘以e-λt，再取积分推广2.4.4一般系统的零输入响应对于一般情况，设n阶LTI连续系统，其特征方程A(p)=0具有l个不同的特征根λi(i=1,2,…,l)，且λi是ri阶重根，则式中，r1+r2+…+rl=n根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,….,l,将相应方程求和，得所以方程A(p)yx(t)=0方程的解一定满足方程第二步，求出第i个根对应的零输入响应yxi(t)第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系统的零输入响应，即第四步，由给定的零输入响应初始条件或者0-系统的初始条件，确定常数第一步，将A（p）进行因式分解，即一般n阶LTI连续

6、系统零输入响应的求解步骤：例2.4–1某系统输入输出微分算子方程为已知系统的初始条件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。解由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2其一阶和二阶导函数为令t=0-,并考虑到代入初始条件值并整理得例2.4-2电路如图2.4-1(a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1Ω，R2=5Ω，C=0.25F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t≥0时的零输入响应iLx(t)。解列电路的回路电流方程画出t=0-时的等效电路求初始条件uC(0-)=6ViL(0-)=

7、2A作业2.10（2）（4）2.162.18（2）