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1、3.3空间中的平面与直线图形的方程(1)图形上任一点M(x,y,z)满足此方程;(2)满足方程的点M(x,y,z)都在图形上.3.3.1平面的方程1.平面的点法式方程法向量n:垂直于平面非零矢量设上点M0(x0,y0,z0)法向量n=(A,B,C)则点M(x,y,z)在平面上M0Mn即平面的点法式方程2、平面的一般方程由点法式方程，令化为平面的一般方程其中A,B,C不全为零.即平面方程是一个三元一次方程。反之，任何一个三元一次方程，只要一次项系数不全为零，它的图形就是一个平面.证设三元一次方程找出一组解x0,y0,z0，即两式相减得即点M(x,y,z)在过点
2、M0(x0,y0,z0)且与向量n=(A,B,C)垂直的平面上，因此一次方程表示过M0且垂直于向量n的平面．例1求过点(1,1,2)且与向量n=(1,2,1)垂直的平面．解由点法式方程，有即例2求通过x轴与点(4,-3,-1)的平面方程．解所求平面通过x轴，法向量n=(0,B,C)平面的方程为因为点(4,-3,-1)在平面上，因此有所求的平面方程为3.三点式方程已知为不共线三点，则取与平面平行的矢量.设为平面上任意点，则有例3平面过三点M1(1,1,1)、M2(-2,1,2)、M3(-3,3,1)，求这平面的方程．解一设平面方程为那么M1、M2、M3三点的坐标满足方
3、程，有解得由于A、B、C不能同时为零，因此A≠0.于是平面方程为即解二设M(x,y,z)为空间的任意一点，那么共面，即化简得所求的平面方程为4、平面的截距式方程设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点，三交点分别为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)其中a、b、c均不为零．设平面的一般方程为oxyzP(a,0,0)Q(0,b,0)R(0,0,c)将三点坐标代入得方程组解得代入平面的一般方程得平面的截距式方程其中a、b、c称为平面在三坐标轴上的截距。例4写出平面3x-4y+z-5=0的截距式方程．解所求的平面截距式方程为利用平面方程研究平面1、平面的位置设
4、平面的一般方程为（1）A≠0，B≠0，C≠0，D≠0平面不过原点，在x轴、y轴、z轴、上的截距分别为-D/A、-D/B、-D/C.（2）A≠0，B≠0，C≠0，D=0平面过原点（3）A、B、C中有一个为零A=0，平面方程为By+Cz+D=0平面平行于x轴oxyzoxyzB=0,平面方程为Ax+Cz+D=0平面平行于y轴C=0,平面方程为Ax+By+D=0平面平行于z轴oxyzoxyz（4）A、B、C中有两个为零A=0，B=0,平面方程为Cz+D=0平面与z轴垂直B=0，C=0,平面方程为Ax+D=0平面与x轴垂直oxyzoxyzA=0，C=0,平面方程为By+D=0
5、平面与y轴垂直(5)z=0，xOy平面；x=0，yOz平面；y=0，xOz平面。oxyz
