第二章 一维势场中的粒子.ppt

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1、第二章一维势场中的粒子§2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质§2.2方势§2.3一维谐振子§2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质定理1推论1能级有简并时又下面定理2处理定理2§2.2方势2.2.1无限深方势阱离散谱2.2.2有限深对称方势阱§2.4线性谐振子经典谐振子回顾：①.在平衡位置处，振子停留时间最短、速度最快，在两端振子走的最慢（v=0）；②.振子不能跑出振幅之外。量子力学中的线性谐振子是指在势场中运动的质量为μ的粒子哈密顿算符定态Schrödinger方程：（1）或即（2）令（λ为待定常数）（3）（4）于是方程（2）可写成（5）当时，方程（5）的渐近形

2、式为(6)方程（6）在处的有限解为令方程（5）的解（7）代入方程（5）可得满足的微分方程（8）且当

3、ξ

4、→∞时，有H(ξ)→0（9）方程（8）称为厄密（Ehermitianequation）方程。用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（8）满足有限性条件（9）的有限解，可得厄密方程的本征值：（10）厄密方程的本征函数，即厄密多项式令方程（5）的解（7）代入方程（5）可得满足的微分方程（8）且当

5、ξ

6、→∞时，有H(ξ)→0（9）方程（8）称为厄密（Ehermitianequation）方程。用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（8）满足有限性条件（9）的有限解，可得厄密方程的本

7、征值：（10）厄密方程的本征函数，即厄密多项式或或（微分形式）线性谐振子的本征能量：（11）本征函数：或Nn为归一化常数，由归一化条件运用积分公式：求得归一化的波函数（12）[注]1．Hermitian多项式的递推公式2．低阶的厄密多项式3．n=1,2,3…的能量本征值和相应的本征函数讨论1．能量的本征值：（1）能量谱为分离谱，两能级的间隔为（2）每个能级的简并度为1（一能级对应的量子态数称为该能级的简并度）（3）零点能：是量子力学中特有的，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44

8、10

9、22．本征

10、函数与几率分布在基态时，经典谐振子在经典禁区之外，量子粒子被找到的几率约为16%在大量子数下，量子振子中的粒子在平衡位置上被找到的几率越来越小。说明在大量子数下，量子情形会趋近于经典情景。称为对应原理。