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《扬大高等代数北大三版--第五章二次型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章二次型学时：10学时。教学手段：讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的：基本内容：二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。教学目的：1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。2、会化二次型为标准型，规范性。3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。本章的重点和难点：重点：化二次型为标准型，规范性。难点：正定二次型。7/15/20211课件5.1二次型的矩阵表示7/15/20212课件一问题提出平面解析一次曲线：Ax+By+C=0(直线)；二次曲线：Ax2+B
2、xy+Cy2+Dx+Ey=F→经平移变换化成为au2+buv+cv2=d→经旋转变换化成为a/x/2+b/y/2=d/(二次齐次多项式)→可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）；空间解析一次曲面：Ax+By+Cz+D=0(平面)；二次曲面：（平移后不含一次项）→Ax+By+Cz+2Dxy+2Exz+2Fyz=G(18-19世纪上半期表示方法)→通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为a/x/2+b/y/2+c/z/2=d/→据二次项系数符号确定二次曲面的分类7/15/20213课件
3、更一般的问题：数域P上含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题→本章中心问题:n元二次型化标准型（平方和）的问题.二、二次型的概念及性质1.定义1数域P上n元二次齐次多项式（近代表示式）f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn+a33x32+…+2a3nx3xn……………+annxn2称为P上n元二次型，简称二次型；当P=R
4、时，为实二次型、当P=C时，为复二次型.7/15/20214课件*1f(x1,x2,…,xn)是Pn→P的n元函数；*2f(x1,x2,…,xn)=a11x1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn+a21x2x1+a22x2x2+…+a2nx2xn……………………………+an1xnx1+an2xnx2+…+annxnxn=f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+a22x22+…+2a2nx2xn…………+annxnn.7/15/20215课件*3性质：1)在
5、二次型f(x1,x2,…,xn)=X/AX中，矩阵A为对称矩阵；2）把一阶矩阵A=(a)看成数a,则一元二次型f(x)=a11x12=(x1)/(a11)(x1)=X/AX；3)数域P上，f(x1,x2,…,xn)与n阶对称矩阵一一对应.证明分析：由*2可知，任一二次型都对应某对称矩阵A，即*2给出对应法则σ：f(x1,x2,…,xn)→A.设f(x1,x2,…,xn)在σ下对应的对称矩阵为A，B，即f(x1,x2,…,xn)=X/AX=X/BX，故知A=B，即σ是n元二次型与n阶对称矩阵之间的映射.
6、设A是数域P上任一n阶对称矩阵，则X/AX的展开式显然是数域P上的n元二次型，即σ是满射，而σ为单射则是显然的，故σ是双射.□7/15/20216课件2线性替换平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般方程为ax2+2bxy+cy2=f(例：13x2–10xy+13y2=72),将坐标轴逆时针旋转θ0(例：450),即有坐标旋转公式yy/x/x7/15/20217课件定义2将变量x1,x2,…,xn用y1,y2,…,yn线性表示的变换称为由x1,x2,…,xn到y1,y2,…,yn的线性替换
7、（简称变量的线性替换）.*1线性替换的矩阵表示：X=CY，C称为线性替换(4)的矩阵；当C可逆时，称(4)为非退化（可逆）线性替换；C不可逆时，称(4)为退化（非可逆）线性替换，其中7/15/20218课件*2性质：4)若C可逆，则X=CY是可逆线性替换，且Y=C－1X也是可逆的线性替换；5)f(x1,x2,…,xn)=X/AX是P上的n元二次型，经线性替换X=CY化成f(x1,x2,…,xn)=Y/BY，则B=C/AC.证明：f(x1,x2,…,xn)=X/AX=(CY)/A(CY)=Y/(C/AC
8、)Y=Y/BY.由于B/=(C/AC)/=C/A/C//=C/AC=B→Y/BY是P上n元二次型，且B=C/AC成立.□6)二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质5的推论）证明：如5),在线性替换X=CY下f(x1,x2,…,xn)=X/AX=Y/BY→B=C/AC,C可逆→A，B的秩相同，即二次型X/AX与Y/BY的秩相同→题设结论成立.□性质5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念→7/15/20219课件三矩阵的合同关系定义2数域P上n阶矩
