高等代数课件(北大三版)--第九章二次型

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1、第九章二次型9.1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4主轴问题我思故我在。-----笛卡儿(ReneDescartes，1596-1650)如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。---牛顿（Newton,1642－1727）惠州学院数学系9.1二次型和对称矩阵一.内容分布9.1.1二次型及矩阵9.1.2线性变换9.1.3矩阵的合同9.1.4二次型的标准形二.教学目的1.掌握二次型及其矩阵的定义以及矩阵的合同2.理解关于二次型的线性变换3.了解二次型的标准形三.重点难点:合同、线性变换、二次型的标准形惠州学院数学系9.1.1二次型及矩阵

2、定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式（1）叫做F上的一个n元二次型。F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函数，二次型（1）定义了一个函数所以n元二次型也叫n个变量的二次型.在（1）中令因为所以（1）式可以写成以下形式：惠州学院数学系（2）是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称为二次型的矩阵。因为,所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，（2）式可以写成（3）二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。惠州学院数学系9.1.2线性变换如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：（4）那么就得到一个关于的二次型（4）式称为变量的线性变换，令是（4）的系数据构成的矩阵，

3、则（4）可以写成惠州学院数学系（5）将（5）代入（3）就得到（6）矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是对称矩阵，所以也是对称矩阵。惠州学院数学系推论9.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。注意:如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立定理9.1.1设是数域F上的一个以A为矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是。惠州学院数学系9.1.3矩阵的合同定义2设A，B是数域F上的两个n阶矩阵。如果存在F上的一个非异矩阵P，使得那么称B与A合同。矩阵的合同关

4、系的性质：③传递性：如果B与A合同，C与B合同，那么C与A合同。①自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A②对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为由可以得出惠州学院数学系事实上，由可得合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的.是数域F上两个n元二次型，它们的矩阵分别为A和B.如果可以通过变量的非奇异线性变换将，则B与A合同.反之，设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使得.通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将.F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.惠州学院数学系定理9.1.3数域F上两个二次型等价的必

5、要且充分条件是它们的矩阵合同。等价的二次型具有相同的秩。定理9.1.4是数域F上的一个n阶对称矩阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同。惠州学院数学系证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵　　　　　　　容易看出，现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立。设n>1，并且假设对于n–1阶对称矩阵来说，定理成立。是一个n阶矩阵.如果A=O，这时A本身就是对角形式。设,我们分两种情形来考虑.惠州学院数学系(a)设A的主对角线上元素不全为零，例如，.如果i≠1，那么交换A的第1列与

6、第I列，再交换第1行与第i行，就可以把换到左上角。这样就相当于初等矩阵,再用.于是的左上角的元素不等于零.因此，我们不妨设，用乘j行，就可以把第一行第j列和第j行第1列位置的元素变成零。A的第1列加到第j列，再用乘第1行加到第惠州学院数学系这相当于用右乘A，用左乘A。这样，总可以选取初等矩阵,使得这里是一个n–1阶的对称矩阵。惠州学院数学系由归纳法假设，存在n–1阶可逆矩阵使得取惠州学院数学系那么这里。惠州学院数学系(b)如果.由于A≠O，所以一定有某一个元素.把A的第j列加到第i列,再把第j行加到第i行,这相当于初等矩阵右乘A.再用左乘A.而经过这样的变换后所得到的矩阵

7、第i行第j列的元素是.于是由情形（b）就归结到情形（a）.注意在定理9.1.2的主对角形矩阵中，主对角线上的元素的一部分甚至全部可以是零。显然，不为零的的个数等于A的秩，如果秩A等于r>0，那么由定理的证明过程可以知惠州学院数学系给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一个可逆矩阵P，使有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形式时，I就化为P。例1设惠州学院数学系我们按定理9.1.2所给出的方