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《2007级《微积分A》（上）期末测试题参考答案解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2007级《微积分A》第一学期期末参考答案2008.1.17一、1−3;2y′′−y′−2y=0;1223arcsinx+xln(1+x)−2x+2arctanx+C（缺少C扣1分）；211π4；5a=−,1b=,0c=−（每空1分）；6；2281427y=x+Cx（缺少“y=”扣分）;2π128x+y=e;9,1[+∞),或,1(+∞);10ln.22二、解：方程两端对x求导：y′lny+y′=1−y′1y′=,lny+2y′上式两端再对x求导；y′′lny+y′+y′′=−y′′y2−y′−1y′′==3y(lny+)2(lny+)211当x=,1y=1时，y′=;y′′=−<028故
2、曲线y=y(x)在点)1,1(附近是向上凸的曲线.π三、证明：令x=−u,dx=−du，有2πf(sinx)0f(cosu)∫2dx=∫π(−du)0f(cosx)+f(sinx)f(sinu)+f(cosu)2πf(cosx)=∫2dx0f(cosx)+f(sinx)1ππf(sinx)f(cosx)2I=∫2dx+∫2dx0f(cosx)+f(sinx)0f(cosx)+f(sinx)π=2π∴I=4xx2四、证明：法1：设f(x)=e−1(+)，则f)0(=,02xxf′(x)=e−1−,f′)0(=02x1f′′(x)=e−>,0(x>)02∴f′(x)单调增加，当x>0时，有f′
3、(x)>f′)0(=0∴f(x)单调增加，当x>0时，有f(x)>f)0(=0，xx2所以，当x>0时，有e>1(+).2θxx12e3法2：由泰勒公式e=1+x+x+x0(<θ<)1!2!3θxe3当x>0时，x>0!3x1212x2故e>1+x+x>1+x+x=1(+)!242注：用泰勒公式证明不等式时，必须要注意余项为拉格朗日余项。五、解：（1）切点A(x0,y0)=A(x0,x0),1切线方程为：y−x0=(x−x0)2x0xx0即y=+.2x2026xx06(2)S=∫(+)dx−∫xdx22x22083(46−)2=+2x−0x30dSx−4dS0=;令=,0得唯一驻点x=4，
4、又30dxx2dx000dSdS当x<4时，<0；当x>4时，>0.dxdx00所以x=4是S的极小值点，又驻点唯一，所以x=4是S的最小值点.003(46−)2即x=4时S取得最小值，S=8−0最小3六、（1）由题意，知：f′(x)=ax−,6f′)1(=,0f)1(=−.3所以，有a×1−6=,0⇒a=,6又2f′(x)=6x−,6，积分得f(x)=3x−6x+C.2由f)1(=−,3⇒C=0，所以f(x)=3x−6x.（2）f(x)的草图如左图，212222xV=∫π3(x−6x)dx（或V=2∫π3(x−6x)dx0048π=.5222七、解：建立如图所示坐标系，则圆方程为：x+y
5、=R.取x为积分变量，x∈[−R,R].22压力微元为：dP=g2(R+x)×2ydx=2g2(R+x)R−xdxR22oyP=∫2g2(R+x)R−xdx−R3x=2πgR.3（本题压力微元及圆方程与所建坐标系有关，将圆心设为圆点则圆的方程简单，积分简单！）.xxxxx八、解：f(x)=xe+∫(x−t)f(t)dt=xe+x∫∫f(t)dt−tf(t)dt000xx上式两端对x求导，得：f′(x)=(x+)1e+∫f(t)dt0x再对x求导得：f′′(x)=(x+)2e+f(x)，x⎧f′′(x)−f(x)=(x+)2e则f(x)满足初值问题：⎨⎩f)0(=,0f′)0(=1x−x对应
6、齐次方程的通解为：Y(x)=Ce+Ce12x设非齐次方程的特解为：y=x(ax+b)e代入原方程，得：2a+4ax+2b=x+21312x得：a=,b=,y=(x+3x)e.444x−x12x通解为：y(x)=C1e+C2e+(x+3x)e411由初始条件，得：C=,C=−.12881x1−x12x所以f(x)=e−e+(x+3x)e.884九、证明：由积分中值定理，知存在η∈)1,0(使得1f)1(=∫xf(x)dx=ηf(η)，0构造辅助函数F(x)=xf(x)，则有F(η)=F1(),这样F(x)在[η]1,上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(η)1,⊂1,0(),使
7、得F′(ξ)=,0又F′(x)=f(x)+fx′(x),所以有F′(ξ)=f(ξ)+ξf′(ξ)=0，结论成立.4
