22直接证明与间接证明(教学设计)(3)

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1、2.2直接证明与间接证明（教学设计）（3）2.2.2反证法教学目标：知识与技能目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。过程与方法目标:多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观目标：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：了解反证法的思考过程、特点教学难点：反证法的思考过程、特点教学过程:一、复习回顾：1、综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种

2、证明方法。2、分析法的特点是：执果索因，即寻找使结论成立的条件。3、分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真二、创设情境、新课引入：如果用直接证明的方法证明比较困难时，那我们就采用间接证明方法……反证法，三、师生互动、新课讲解：1、反证法（1）定义：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

3、一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法(reductiontoabsurdity).（2）分类反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。（3）证明步骤：用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。（3）常用的反设（否定）（补集）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/

4、不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。例1（课本P42例7）已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。分析：证明：例2（课本P43例8）已知直线

5、和平面，如果，且，求证。证明：因为,所以经过直线a,b确定一个平面。因为，而，所以与是两个不同的平面．因为，且，所以.4下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a与平面有公共点，则，即点是直线a与b的公共点，这与矛盾．所以.点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：．例3、求证：不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质，”的形式．下面我们看

6、看能否由此推出矛盾．证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,因此，，所以m为偶数．于是可设(k是正整数），从而有，即所以n也为偶数．这与m,n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．正是的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与1是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。例4、已知，求证：（且）证明：假设不大于，即或.∵a＞0，b＞0∴由(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?)a＜b(推理利用了不等式的传递性).又

7、由但这些都与已知条件，a＞b＞0相矛盾.∴成立.例5、设，求证证明：假设，则有，从而因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？课堂练习：（课本P43练习）四、课堂小结、巩固反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯

8、定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。    反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/