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1、2.2直接证明与间接证明（教学设计）（1）2.2.1综合法和分析法（1）--综合法教学目标：知识与技能目标：（1）理解综合法证明的概念；（2）能熟练地运用综合法证明数学问题。过程与方法目标:（1）通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。情感、态度与价值观：（1）通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯。教学重点：了解综合法的思考过程、特点教学难点：对综合法的思考过程、特点的概括教学过程:一、
2、复习回顾，新课引入：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。二、师生互动，新课讲解：1.综合法在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例1（课本P36例）：已知a,b>0,求证给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式
3、证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为，所以。因为，所以。因此。一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。例2（课本P37例3）：在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,成等比数列,求证△ABC为等边三角形
4、.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=．②由①②，得B=．③由a,b，c成等比数列，有．④由余弦定理及③，可得．再
5、由④，得．即，因此．从而A=C．由②③⑤，得A=B=C=．所以△ABC为等边三角形．注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例3：已知求证分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作
6、商）、变形、判断符号。例4、若实数，求证：证明：采用差值比较法：====∴成立∴例5．设函数对任意，都有，且时，．（1）证明为奇函数；（2）证明在上为减函数．证明：（1），，令，，，令，代入，得，而，，是奇函数；（2）任取，且，则，．又，为奇函数，，，即，在上是减函数．三、课堂小结，巩固反思：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。四、布置作业：A组：1、若，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的个数是____（个）（写出所有正确的情况）
7、①②③④【答案】：1个【解析】①项，所以，；②项，；③项，所以；④项，因为，所以，得，故只有④正确。2、（课本P44习题2.2A组：NO：1）已知都是锐角，且，求证：.解：因为展开得即（1）因为，所以.因为都是锐角,所以都是锐角从而所以,即。（1）式变形得即因为都是锐角，所以，从而3、（课本P44习题2.2A组：NO：2）4、在中，已知，且．判断的形状．解：，．又，，．又与均为的内角，．又由，得，，又由余弦定理，得，，，．又，为等边三角形．
