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《微积分（上） 课后习题答案解析试卷 5-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.3可降阶的高阶方程本节主要讨论可降阶的二阶方程，通过变量代换化为一阶方程，当所得的一阶方程可解时，就可求得原方程的解，这种求解方法称为降阶法。该方法也可用于更高阶的方程。(n)1.y=f(x)型的微分方程特点：方程右端仅含自变量x.解法：对变量x连续积分n次.x例1.求方程y′′′=xe的通解xxxy′′=xedx=xe−e+C解∫1xxy′=(xe−e+C)dx则∫1xx=xe−2e+Cx+C12xxy=(xe−2e+Cx+C)dx∫12xxC12=xe−3e+x+Cx+C2322.y′′=f(x
2、,y′)型的微分方程特点：方程右端不显含未知函数y.解法：右端含有y′,设y′的正规形式中也不显含y故可作变量代换y′=p(x),p(x)为新的未知函数.∴y′′=p′(x)关于x,p的一阶方程代入原方程得p′=f(x,p)若该方程可求出解，其解应为：p=p(x,C)1dy可分离变量的方程即=p(x,C)1dx方程的通解为y=y(x,C,C)121例2(书中例2)求方程y′′+y′=x的通解x1解设y′=P(x)p′+p=x则x解此一阶线性非齐次方程，得通解1C21p(x)=x+3x1C21y′=x+该
3、处绝对值符号不能省掉即3x13y=x+Clnx+C得1293.y′′=f(y,y′)型的微分方程特点：方程右端不显含自变量x.解法：右端含有y′,设y′的正规形式中也不显含x故可作变量代换y′=p(y)dpdydP关于y,p的一阶方程则y′′=⋅=p,dydxdydP代入原方程得p=f(y,p)dyp=p(y,C)若该方程可求出解，其解应为：1dy=p(y,C)可分离变量的方程1dx方程的通解为y=y(x,C,C)122例3求方程yy′′+y′=0的通解.dP解设y′=p(y),则y′′=p,dydP2
4、dP代入原方程得y⋅P+P=,0即P(y⋅+P)=,0dydydPC由y⋅+P=0，1,可得P=dyydy2∴y=C,原方程通解为y=C2x+C3.1dx由P=0，可得y=C,2该解已包含在上述通解中(C=,0C=C).232例3求方程yy′′+y′=0的通解.d解将方程写成(yy′)=,0dx故有yy′=C,即ydy=Cdx,112积分后得通解y=C1x+C2.例4.一动点的加速度与其速度立方成正比而方向相反,比例系数为a,初始位移为零，初速度为v0，求经过时间t的路程s(t)。3⎧s′′=−a(s′
5、)⎨解：由题意得初值问题⎩st=0=,0s′t=0=v0特点：既不显含也t不显含s，用降阶法求解′′既可令s=v(t)，也可令s=v(s).′s′′=v⋅v′若令s=v(s)，则sdv3v=−av代入方程得dsdv2=−av即v=0（舍去），或ds（可分离变量）1=as+C1解得v1C=s=,0s′=v1将初始条件t=0t=00代入得v01(as+)ds=dt故v0a21s+s=t+C2两端积分得2v0s=,0将初始条件t=0代入得C2=02+2=2故所求特解为av0ssv0t1(2)s=2avt+1−
6、10或av0注意：(1)求特解时，应边求解边定任意常数；(2)对既属于y′′=f(x,y′)型,又属于y′′=f(y,y′)型的微分方程求解时，应选取适当的变换，使求解过程尽可能简单。)5()4(例5求方程xy−y=0的通解.)4()5(解设y=P(x),y=P′(x)代入原方程xP′−P=,0解线性方程,得P=C1x（P≠0）)4(即y=Cx,1P=,0已包含在该通解中（C1=0）12两端积分,得y′′′=C1x+C2,LL,2C15C23C32y=x+x+x+Cx+C,4512062532原方程通解
7、为y=d1x+d2x+d3x+d4x+d5作业：P301：1.奇3.4.5.6.预习：5.4线性微分方程解的结构
