微积分（上） 课后习题答案解析试卷 5-1

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1、第5章常微分方程在研究客观事物的规律时，我们常常需要寻求函数关系，但在许多问题中，往往不能直接找出待求的函数关系，而根据问题所给的条件，有时可以列出含有待求函数及其导数（或微分）的关系式，这种关系式称为微分方程。5.1微分方程的基本概念例1已知一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线的斜率为2x,求该曲线的方程.dy解设所求曲线为y=y(x)=2xdx且x=1时,y=,2记作y=,2或y)1(=2x=1y=∫2xdx即y=x2+C,求得C=,12所求曲线方程为y=x+.1例2列车在直线轨道上

2、以20米/秒的速度行驶,刹2车时列车获得−4.0米/秒的加速度，问开始刹车后，列车还要经过多少时间才能停住？如果希望列车恰好停在某处，应在距离该处多远时开始刹车？（即列车在这段时间内行驶了多少路程？）解记刹车时刻t=,0经t秒钟列车行驶s米,s与t的函数关系式s=s(t)2dsds=−4.0s=,0v==20,dt2t=0t=0dtt=0ds2v==−4.0t+C1s=−2.0t+C1t+C2dt代入条件后知C=20,C=012dsv==−4.0t+20,dt2故s=−2.0t+20t,20当列车完全停住时共需t=

3、=50(秒),4.0列车在这段时间内行驶了2s=−2.0×50+20×50=500(米).微分方程:凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.x例y′=xy,y′′+2y′−3y=e,∂z2=x+y,(t+x)dt+xdx=,0∂x常微分方程,偏微分方程.y=y(x)z=z(x,y)本章研究的对象微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称之微分方程的阶.2dyds=2x=−4.02dxdt2(y′)2+2y=xy′′+2y+x=1分类1:按阶分类一阶微分方程F(x,y,y′)=

4、,0y′=f(x,y);一般形式正规形式(n)n阶微分方程F(x,y,y′,L,y)=,0(n)(n−)1y=f(x,y,y′,L,y).分类2:按线性与非线性分类线性函数指y+ax=b关于x,y是线性(一次幂)的x+ax+ax+L+ax+ax=bn1n−12n−2n−11n0关于x，x,L,x是线性的.01n实际上，线性指等式右端有理整式的各项关于x,x,L,x是一次幂的。01nxy=1不是线性函数。(n)如果n阶微分方程是关于y,y′,y′′,L,y的一次有理整式，则称该微分方程为n阶线性微分方程。故n阶线性微

5、分方程具有标准形式：(n)(n−)1(n−)2y+a(x)y+a(x)y+L+a(x)y=f(x)12n所以，一阶线性微分方程应有标准形式y′+P(x)y=Q(x)不是线性的微分方程称为非线性微分方程.2x(y′)−2yy′+x=;0分类3:按单个微分方程与微分方程组分类⎧dy=3y−2z,由几个微分方⎪dx程联立起来共同确⎨dz定几个具有同一自⎪=2y−z,⎩dx变量的函数.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之微分方程的解.即若y=y(x)在区间I上有n阶导数,(n)F(x,y(x),y′(x)

6、,L,y(x))=.0则y=y(x)为上述微分方程的解.dy22=2xy=x+1y=x+C,dx2ds2=−4.0s=−2.0t+20t2dt2s=−2.0t+Ct+C12微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.n阶微分方程的通解形式：y=y(x,C,C,L,C),ϕ(x,y,C,C,L,C)=012n12n(2)特解:确定了通解中任意常数的解.特解的图象:微分方程的一条积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.把方程和初始条

7、件组合在一起，称为初值问题。初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.⎧⎪F(x,y,y′)=0⎧F(x,y,y′)=0一阶:⎨⎨⎪⎩yx=x0=y0⎩y(x0)=y0过定点的积分曲线;二阶:⎧⎪F(x,y,y′,y′′)=0⎨⎪⎩yx=x0=y0,y′x=x0=k过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.小结微分方程;微分方程的阶;线性微分方程;微分方程组;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;2x思考题函数y=3e是否是微分方程y′′−4y=0的解?思考题解答2x2xQy′=6e,y′′=

8、12e,2x2xy′′−4y=12e−4⋅3e=,02xQy=3e中不含任意常数,故为微分方程的特解.作业：P279：1.(2)2.(1)4.5.