微积分（上） 课后习题答案解析试卷 5-8

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1、5.8用常微分方程求解实际问题——数学建模初步数学模型可按不同方式分类：(1)应用领域：生物数学、数量经济学、数学社会学、人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、……(2)表现特性：确定性模型和随机性模型；静态模型和动态模型；线性模型和非线性模型；离散模型和连续模型……(3)数学方式：初等数学模型、几何模型、图论模型、规划论模型、微分方程模型……本节主要讲授建立常微分方程数学模型的基本过程：根据研究目的，列出未知函数与其导数的关系式，即常微分方程。求得方程的解后，对实际问题给以数量上的分析研究。建模的基本步骤：(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的

2、，收集和掌握对象的各种信息，如现象、统计数据等，弄清实际对象的特征，情况明了才能选择正确的方法。(2)模型假设：根据实际对象的特性和建模的目的，对实际问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言作出恰当的假设。假设不合理或过于简单，建模就会失败，要修改和补充假设；假设过于详细，建模无法继续。所以要辨主次，抓主要因素，忽略次要因素。(3)模型建立：根据所作的假设分析对象的因果关系，运用适当的数学工具，结合与问题相关的物理、化学、生物、经济等领域的知识，建立各个量之间的等式或不等式关系。(4)模型求解：运用所学知识解方程，求出方程的解析解，或运用计算机技术求出问题的数值解

3、。(5)模型分析：对模型求解所得的结果进行数学上的分析，即根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定性态，或根据所得结果给出数学上的预测。(6)模型检验：把模型分析的结果“翻译”回实际问题中，用实际现象、数据等与之比较，检验模型的合理性和适用性。如果检验结果不符合或部分不符合实际情况，并且能够肯定在模型建立和求解过程中没有失误，那么问题通常出在模型假设上，应像前面说过的那样修改、补充假设，重新建模。有些模型要经过几次反复，不断完善，直到获得某种程度上满意的模型.(7)模型应用：根据问题的性质和建模的目的，将模型应用到具有同类性质的问题中。建模的方法无法归纳出若干

4、条普遍使用的建模准则和技巧。有人说，建模与其说是一门技术，不如说是一种艺术，是技艺性很强的的技巧。因为艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的。一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实践。因而要学好建模，一要大量阅读、思考别人做过的模型，二要亲自动手，认真做几个实际题目，后者是更为重要的。例1.弹簧的运动问题一质量为m的物体系于弹簧上,弹簧的弹性系数为μ.先把弹簧O向下拉长l,然后放开.求此后物体xl的运动规律.x(1)简化假设:设阻力与运动速度成正比.弹簧的质量忽略不计.(2)建模:取平衡位置为坐标原点。一部分弹性力与物体重力抵消，因此重力不

5、必列出。受力分析时规定:速度v和加速度a的正方向与x轴的正方向一致。弹性恢复力:Fμx,μ01=−>,dxF=−kv=−k,k>0为阻力系数.阻力:2dt由牛顿第二定律及初始条件得如下初值问题：2⎧dxdx⎪m=−k−μx二阶线性常系⎨2dtdt数齐次方程⎪⎩x)0(=l,x′)0(=02其特征方程为：mr+kr+μ=0kk2μr=−±()−特征根为：2,1mm2m2(3)求解,讨论kk2μk2μr=−±()−,令Δ=()−2,12m2mm2mm1)过阻尼情况(Δ>)0，即k较大，μ较小。k2μ()>2mm,r1,r2为两个不相等的实根，且r1<,0r2<0x(t)

6、=Cer1t+Cer2t，方程的通解为：12其中，C1,C2可由初始条件x)0(=l，x′)0(=0确定。limx(t)=0且有t→+∞2)临界阻尼情况(Δ=)0，即k不太大，μ不太小。k2μ()=2mm,r1,r2为两个相等的实根，r<0且2,1，r1tx(t)=(C+Ct)e，方程的通解为：12其中，C1,C2可由初始条件x)0(=l，x′)0(=0确定。limx(t)=0且有t→+∞3)欠阻尼情况(Δ<)0，即k较小，μ较大。k2μ()

7、(C1cosβt+C2sinβt)，αlC=l,C=12由初始条件可确定β−αt故解为x(t)=Aesin(βt+ϕ)22α2βA=C+C=l1+(),ϕ=arctan12其中βαlimx(t)=0且有t→+∞如果弹簧振动时，阻力忽略不计（无阻尼自由振动微分方程），即k=0,则特征根r=±βi2,1，此时方程的特解为：πx(t)=lcosβt=lsin(βt+)2这是一种简谐振动。π这个振动的振幅为l，初相为2，周期2πT=,角频率为β。βμ在无阻尼的情况下，由于β=m与初始条件无关，而完全由振动系统本身所确定，故β称为系统的固有频率。它是反映振动系统特性的一个