3数学选修2-2第二章推理与证明教师用

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1、（数学选修2-2）推理与证明本章只需重视综合法、分析法、反证法的特点。及数学归纳法的掌握！一、基础知识【理解去记】综合法：“执因导果”分析法“执果导因”反证法:倒着推【不常考】1．用反证法证明命题的一般步骤如下：①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.2．反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：①结论本身以否定形式出现；②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.3．用反证法证题的关键

2、是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：原结论词大于（>）小于（<）都是都不是至少n个至多n个P且Q是P或Q是反设词不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一个是至多n－1个至少n+1个例1.求证：形如的整数不能化为两整数的平方和。用反证法证明的过程是这样的：假设是型的整数，且能化成两个整数的平方和，即，则由奇数得必为一奇一偶。不妨设其中为整数，，这与是型的整数矛盾。归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出结论的推理方法完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况

3、后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法数学归纳法:对于某些与自然数6有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：证明：当取第一个值结论正确；假设当(，≥)时结论正确，证明当时结论也正确由，可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,从n=k到n=k+1发生什么

4、变化呀小心。二、基础例题【必会】用数学归纳法证明等式要会拆项例1．用数学归纳法证明：时，用数学归纳法证明不等式要会放缩例2.证明总结放缩技巧：用数学归纳法证明整除问题要会拼凑例3.用数学归纳法证明：能被9整除。一、选择题1数列…中的等于（）ABCD2．若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004的箭头方向依次为(　　)3设则（）A都不大于B都不小于C至少有一个不大于D至少有一个不小于64已知，则=A．+，B．++，C．-D．+-5．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)A．2k＋1　　　

5、　　　　　B．2(2k＋1)C.D.6．记凸k边形的内角和为f(k)，则f(k＋1)－f(k)＝(　　)A.B．πC.πD．2π7设函数，则的值为（）txjyABC中较小的数D中较大的数二、填空题1若正整数满足，则2若数列中，则3设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值是________________4.用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋n＝nn，当n＝1时，左边应为________．5.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____6用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k

6、+1时，为了使用归纳假设，应将65k+1－2k+1变形为三、解答题1设函数中，均为整数，且均为奇数求证：无整数根2已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，3（07高考重庆理22）设数列满足（1）证明对一切正整数n成立；（2）令,判断的大小，并说明理由。（I）证法一：当不等式成立.综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.（II）解法一：4．(2009年南昌月考)设曲线y＝＋bx2＋cx在点处的切线斜率为k(x)，且k(－1)＝0.对一切实数x，不等式x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立(a≠0)．6(1)求k(1)的值；(2)求函数k(x)的表达式；(3)求证：＋＋…＋＞.解析：(1)由x≤k(x)

7、≤(x2＋1)得1≤k(1)≤1，所以k(1)＝1.(2)k(x)＝y′＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由k(1)＝1，k(－1)＝0得⇒a＋c＝，b＝.又x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立，则由ax2－x＋c≥0(a≠0)恒成立得⇒a＝c＝，同理由(－a)x2＋x＋－c≥0恒成立，也可得：a＝c＝.综上a＝c＝，b＝，所以k(x)＝x2＋x＋.(3)证明：法一(分析法)：k(n)＝＝⇒＝.要证原不等式成立，即证