不定积分的概念与性质(VIII)

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1、第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质第四章一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)如引例中,的原函数有问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区

2、间上有原函数定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族即定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P183)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,记作不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动

3、轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻先由此求再由此求先求由知再求于是所求运动规律为由知故二、基本积分表(同济P186；合肥工大P141)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k为常数)或或例3.求解:原式=例4.求解:原式=三、不定积分的性质推论:若则例5.求解:原式=例6.求解:原式=例7.求解:原式=例8.求解:原式=内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒

4、等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质思考与练习1.证明2.若(P191题4)提示:提示:3.若是的原函数,则提示:已知4.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为5.求下列积分:提示:6.求不定积分解：7.已知求A,B.解:等式两边对x求导,得第二节目录上页下页返回结束练习解