中值定理及函数应用

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1、拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理机动目录上页下页返回结束2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论机动目录上页下页返回结束3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为

2、不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.机动目录上页下页返回结束例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.机动目录上页下页返回结束例2.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点机动目录上页下页返回结束例3.且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证机动目录上页下页返回结束例4.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个

3、实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即机动目录上页下页返回结束例5.机动目录上页下页返回结束设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在例6.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得机动目录上页下页返回结束二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题目标函数的建立与简化最值的判别问题3.其他应用:求不定

4、式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.补充定理(见下页)机动目录上页下页返回结束设函数在上具有n阶导数,且则当时证:令则利用在处的n－1阶泰勒公式得因此时定理.机动目录上页下页返回结束的连续性及导函数例7.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,机动目录上页下页返回结束单调减区间为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;.在区间上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,机动目录上页下页返回结束例8.证明在上单调增加.证:令在[x,x+1]上利用拉

5、氏中值定理,机动目录上页下页返回结束故当x>0时,从而在上单调增.得例9.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考:若题中改为其它不变时,如何设辅助函数?机动目录上页下页返回结束例10.求数列的最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大点因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值机动目录上页下页返回结束列表判别:例11.证明证:设,则故时,单调增加,从而即思考:证明时,如何设辅助函数更好?机动目录上页下页返回结束提示:例12.设且在上存在,且单调递减,证明对一切有证:设则所

6、以当令得即所证不等式成立.机动目录上页下页返回结束例13.证:只要证机动目录上页下页返回结束利用一阶泰勒公式,得故原不等式成立.例14.证明当x>0时,证:令则法1由在处的二阶泰勒公式,得故所证不等式成立.与1之间)机动目录上页下页返回结束法2列表判别:即机动目录上页下页返回结束法3利用极值第二判别法.故也是最小值,因此当时即机动目录上页下页返回结束例15.求解法1利用中值定理求极限原式机动目录上页下页返回结束解法2利用泰勒公式令则原式机动目录上页下页返回结束解法3利用罗必塔法则原式机动目录上页下页返回结束