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1、温州大学瓯江学院WENZHOUUNIVERSITYOUJIANGCOLLEGE本科毕业设计（论文）（2012届）题1:屮值定理及应用专业：统计学班级：08统计学本姓名：罗东学号：08205013139指导教师：殷谷良职称：副教授完成日期：2012年4月中值定理及应用罗东（温州大学瓯江学院，浙江温州,325027）摘要：中值定理是微积分的重要内容之一，在各类教科书中有着各种不同的证明。本文首先较为系统的归纳了中值定理的几种不同的证明，如利用行列式证拉格朗日中值定理，利用坐标旋转变换证明柯西中值定理等，然后通过实例说明中值定理在解题中的具体应用，如“证明不等式”，
2、“证明单调性”等应用。关键词：微分中值定理，积分中值定理，应用MeanvaluetheoremandapplicationLuodong(OujiangCollege,WenzhouUniversity,WenzhouZhejiang,325027)Abstract:Meanvaluetheoremisoneoftheimportantcontentsofcalculus,withdifferentproofinallkindsoftextbooks.Thispapercomparativelysystematicallysummarizesthemeanva
3、luetheoremofseveraldifferentkindsofproof,suchasusingdeterminantcardLagrange'smeanvaluetheorem,thecoordinaterotationtransformationprovecauchymid-valuetheoremareobtained,etc,thenthroughtheexamplesforvaluetheoremofprobleminthespecificapplication.,astotestifyinequality,provemonotonicity
4、applications.Keywords：differentialmeanvaluetheorem,meanvaluetheorem,application摘要1Abstract2一、引言4二、微分中值定理的证明42.1拉格朗日中值定理的证明42.2柯西中值定理的证明6三中值定理的应用93.1介值定理的应用93.2拉格朗日中值定理的应用93.3柯西中值定理的应用103・4积分屮值定理的应用12结论12致谢13参考文献14一引言中值定理包括介值定理，微分中值定理，积分中值定理等，而微分中值定理是微分学的基本定理，是构成微分学基础理论的重要内容，它包括罗尔屮值定
5、理、拉格朗日中值定理、柯曲中值定理，教材上主耍用引入函数的方法证明，本文主要介绍不同的方法证明中值定理，对比各种证明方法的优缺点，寻找最简单，最合适的解题方法，然后给出大量例题说明屮值定理在具体解题过程屮的作用。二微分中值定理的证明2.1拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在(a,b)上可导，［a,b］上连续，则必有一Ee［a,b］,使得=(1)行列式证法：证明：利用函数兀fM1F(x)二b/0)1a1展开F(x)=f(b)x+hf(x)-af(h)-f［a)x-bf(x)o因为f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，所以F(x)
6、在［a,b］上连续，在(a,b)内可导.乂因为F(b)=F(a)=0,所以由罗尔中值定理知，至少存在一点如口),使@张)一弘)F⑴=f(b)+妙©—=0,即八"(h-a)。(2)旋转变换证法：x=Xcosa-Ysina(1)A证明：引入坐标旋转变换y=Xsma+Ycosa(2)因为△=C°SaSma=cos26if+sin26Z=1^0,所以A有逆变换sinacosaX=xcosa+ysina=xcosa+/(x)sina=X(x)(3)K=-xsincos6if=-xsin4-/(x)cos=K(x)(4)由于f(x)满足条件:(1)在［a,b］上连续;(2
7、)在(a,b)内可导，因此⑷式中函数Y(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导。为使Y(x)满足罗尔中值定理的第三个条件，只适当选取旋转角a,使Y(a)=Y(b),tga=―即-asina+.f(d)cosa二一bsina+/(b)cosa，也即b-a或b_a。这样，函数Y(x)就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点如§＜叭使厂©二_siim+厂©cosg二0即f^=tga.由于所选取旋转角Q满足tga=f(b)~f(a),所以广©=〃)一广⑺°b-ab-a(1)区间套定理证法证明：将区间I二g,b］二等分，设分点为和作直线兀=和它与曲线y=f
8、M相交于My过作直线A/】厶//弦此吋
