空间几何——平行与垂直证明

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1、三、“平行关系”常见证明方法（一）直线与直线平行的证明1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行2)利用三角形中位线性质3)利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。4)利用直线与平面平行的性质定理：bαβ如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。5)利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．6)利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。7)利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。8)利用定义：

2、在同一个平面内且两条直线没有公共点（二）直线与平面平行的证明1)利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。2)利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。βαa3)利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点（二）平面与平面平行的证明常见证明方法：1)利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。P2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等3)利用定义：两个平面没有公共点三、“垂直关系”常见证明方法（一）直线与直线垂直的证明1)利用

3、某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2)看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。3)利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。αb4)利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。bβα5)利用常用结论：c①如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。bb②如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。α（二）直线与平面垂直的证明1)利用某些空间几何体的特性：如长方体

4、侧棱垂直于底面等2)看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。3)利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。4)利用平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。5)利用常用结论：①一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。②两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。（三）平面与平面垂直的证明1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等2)看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角

5、），就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。