数学北师大版七年级下册截长补短

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1、全等三角形专题课——截长补短教学目标1.知识技能 ：使学生掌握运用截长补短的方法解决线段的和差问题。 2.数学思考 ：①通过观察、操作、归纳等教学活动，积累数学活动经验。感受数学思维过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力。 ②通过对线段的和差问题的探究，体会辅助线在数学中的作用。 3.解决问题 ：学会运用“截长补短法”作辅助线解决问题。 4.情感态度 ①使学生经历探索线段的和差问题的解决过程，感受数学活动充满探索以及数学方法确定性。 ②培养学生积极主动参与学习数学活动的意识，增强学好数学的信心。培养学生与他人合作交流的意识和能力。教学

2、过程：一．问题创设：（3分钟）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD（学生思考：如何解决关于线段和差问题）问题一：如何证明此题？（学生提出截长补短）问题二：你这样做辅助线的理由是什么？（可以得到全等，证明截下的线段等于CD）总结：3cm二．课题引入：同学们，为了解决像这样线段与线段关系的题目，今天我们来学习截长补短法。8cm5cm如图：ABDCEF问题一：已知三条线段AB、CD、EF的长度分别为8cm,5cm,3cm，你能用CD和EF表示AB吗？（AB=CD+EF）bac问题二：如果图中线段长度分

3、别变为a、b、c，并且a=b+c，你能采用适当的工具证明AB=CD+EF吗？CDEFBA方法一：用圆规在AB上截取b，再用圆规测量余下的部分（a-b),与c相比较，得到a-b=c，即证明。方法二：在CD（EF）补一部分EF（CD）得到b+c，再用圆规和a进行比较得到a=b+c。像刚才这样，通过在较长截取另一条线段，在较短线段上补一条线段研究线段间的关系，这种方法称为“截长补短”。三、例题讲解回头来看刚在的例题：例1：如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且∠C=2∠B，求证：AB=AC+CDE3214法一：截长法证明：在AB上截取AE

4、，使得AE=AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2∵AE＝AB注：1.讲解时强调辅助线的做法和书写方式2.体现数学思想：截长补短是为了证明线段与线段间的关系，截长补短后构造全等三角形，利用三角形的全等性将线段进行转化。3.注意学生的书写格式4.教师板书截长法，展示学生的补短法∠1＝∠2AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠3=∠CCD=DE（全等三角形的性质）又∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B又∵∠3=∠4+∠B（外角定理）∴∠4=∠B∴EB=DE=CD（等角对等边）∵AB=AE+EBAE=AC，EB=CD∴AB=AC+CD（等量

5、代换）学生小组交流讨论补短法法二：补短法证明：延长AC至点E，使AE＝AB，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AB∠EAD＝∠CADAD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）E∴∠E＝∠C又∵∠ACB＝2∠C补：这里补短还可以叙述为：延长AC至点E，使得CE=CD，然后证明△AED≌△ACD∴∠ACB＝2∠E∵∠ACB＝∠E+∠CDE∴∠E=∠CDE另一种的补短法通过证明两次等腰注：补短时注意是否合理简单，一般补短应在有角平分线的角一边，充分利用角平分线构造全等。∴CE=CD（等角对等边）∵AE＝AC+CEAE=AB，E

6、C=CD∴AB＝AC+CDE四．变式训练：如图：已知正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=ACBAECD（1、3、5、7列的同学用截长法，2、4、6、8列同学用补短法，时间3分钟，同桌之间相互交流不同的方法，在黑板上两个学生展示板书）五．学以致用请对下面的题进行分析，要求只做出辅助线，并简要说明解题思路。1.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。（截长补短皆可）辅助线：解题简要步骤：A2.已知，在△ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平

7、分线，P为AD上的一点，求证：AB-AC＞PB-PC。辅助线：P解题简要步骤：BDC3.如图，已知正方形ABCD中，AF为∠EAD的角平分线，求证：EF=BE+DF．辅助线：解题简要步骤：4.选做，思考题如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.总结：1.什么样的题型适合截长补短？（题的共同特征）有角平分线，并且都求的是线段与线段的关系；（说明：并不是所有有角平分线、线段关系就用截长补短，并且有的题只能用截长或补短一种）2.数学思想方法：通过截长补短，构造全等三角形，利用全等性对所求线段进行转化。作业：将以上题目过程完整写出。