人大微积分课件8-7偏导数在几何上的应用

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1、第七节偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线(1)式中的三个函数均可导..),,(0000tttzzyyxxMD+=D+D+D+对应于;),,,(0000ttzyxM=对应于设设空间曲线的方程1一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为,0,时即当DtMM曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面..解切线方程法平面方程tcos+,tez31+=在0=t处的切线和法平面方程例1求

2、曲线:G，tysin2=即1.空间曲线方程为,),,(000处在zyxM法平面方程为切线方程为3.空间曲线方程为切线方程为法平面方程为例2求曲线6222=++zyx，0=++zyx在点)1,2,1(-处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x求导并移项，得由此得切向量所求切线方程为法平面方程为设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线二、曲面的切平面与法线令则由于曲线是曲面上通过的任意一条曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故曲面上通过的一切曲线在点的切线都在同一平面

3、上，这个平面称为曲面在点的切平面.切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.通过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.特殊地：空间曲面方程形为令曲面在处的切平面方程为曲面在处的法线方程为切平面上点的竖坐标的增量全微分的几何意义因为曲面在处的切平面方程为的全微分在点函数在的全微分，表示曲面在点处的切平面上的点的竖坐标的增量.若a、b、g表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角g是锐角，则法向量的方向余弦为其中解令切平面方

4、程法线方程例3求曲面在点处的切平面及法线方程.解切平面方程为法线方程为例4求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得例5求椭球面使其与平面.的切平面平行法向量因为是曲面上的切点，满足方程所求切点为切平面方程(1)切平面方程(2)