《偏导数的几何应用》PPT课件

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1、第七节偏导数的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因设空间曲线假定(1)式中的三个函数都在一、空间曲线的切线与法平面且导数不同时为零.的方程可导.考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.例1求曲线在点方程和法平面方程.解曲线的切向量，而点对应的参数值，所以于是所求的切线方程为法平面方程为即处的切线例1求曲线在点如果空间曲线方程为

2、法平面方程为例2求曲线，在点处的切线方程和法平面方程.解原曲线方程可看作以为参数的参数方程，即点对应的参数值故与该参数对应的切向量为所以，所求切线方程为法平面方程为即如果空间曲线方程为切线方程为法平面方程为例3.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令则即切向量法平面方程即解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线二、空间曲面的切平面与法线令则切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特

3、殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为其中例4求球面在点处的切平面与法线方程.解令则所以在点处的切平面方程为即法线方程为解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)1.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.空间光滑曲面曲面在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线空间光滑曲

4、面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此2.设f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为