保险精算》之三--生命表

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1、保险精算之三王明征大连理工大学管理学院2009年11月第三章生命表2生命表相关定义生命表：反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出人口。3生命表基本函数lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dxnqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx4生命表基本函数5(1)(2)(3)生命表基本函数6npx：x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。当n=1，简记为px。生命表基本

2、函数7nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故当n=1时，生命表基本函数8：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。在均匀分布假设下，生命表基本函数9：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。：表示x岁的人在

3、x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。101112生存分布一、新生儿的生存函数二、x岁余寿的生存函数三、死亡力四、整值平均余寿与中值余寿13新生儿的生存函数14F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：新生儿的生存函数15生命表函数中的存活人数lx正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，lx=l0s(x)而s(x)曲线形状如下图所示，x岁余寿的生存函数16以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示x岁的人在t时间内存活的概率t

4、px当x=0时，T(0)=X，正是新生儿未来余寿随机变量。x岁的人在t时间内死亡的概率tqxx岁余寿的生存函数考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了x岁，tqx实际是一个条件概率17x岁余寿的生存函数18x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率，以概率的方式表示为：整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数19死亡力定义：的瞬时死亡率，简记死亡力与生存函数的关系20死亡力2122死亡力23实际上生命表x岁平均余寿正是T(x)随机变量的期望值死亡力24生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在0~1上的积分生命表x岁生存人年数Lx正是生

5、存人数函数lx+t在0~1上的积分生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0~∞上的积分死亡力25对于x岁期望剩余寿命，可以证明：2627整值平均余寿与中值余寿28x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，整值平均余寿与中值余寿29由于，所以整值平均余寿与中值余寿30由于故，在死亡均匀分布假设下，故，整值平均余寿与中值余寿31中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50%，以m(x)表示x岁的中值余寿，则即，非整数年龄存活函数的估

6、计死亡均匀分布假设死亡力恒定假设巴尔杜奇(Balducci)假设32有关非整数年龄的假设使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)33死亡均匀分布假设34假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。死亡均匀分布假设35(0≤t≤１,0≤y≤１,0≤t+y≤１)死亡力恒定假设36当假设死亡力在x~x+1上恒定时，(x为整数，0≤t

7、≤1)，由死亡力的定义，死亡力恒定假设37若以表示，有此时，巴尔杜奇(Balducci)假设38以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即巴尔杜奇(Balducci)假设39（其中，0≤t≤1,0≤y≤1,0≤t+y≤1）此时，三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci40生命表的编制一、生命表编制的一般方法二、选择生命表41生命表编制的一般方法实际同批人生命表：依据实际同时出生的一批人资料编制的。在实际中一般不采取实际同批人生命表。时期生命表(假设同批人生命表