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1、转化可分离变量微分方程机动目录上页下页返回结束第二节解分离变量方程可分离变量方程第十二章分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.机动目录上页下页返回结束例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式
2、含分离变量时丢失的解y=0)机动目录上页下页返回结束例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为机动目录上页下页返回结束例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为
3、已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动目录上页下页返回结束例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时机动目录上页下页返回结束例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积的变化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设
4、在内水面高度由h降到机动目录上页下页返回结束对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:机动目录上页下页返回结束两端积分,得利用初始条件,得因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C机动目录上页下页返回结束找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P
5、263,5(2))2)根据物理规律列方程(如:例4,例5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤机动目录上页下页返回结束思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为机动目录上页下页返回结束作业P2691(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6第三节目录上页下页返回结束备用题已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有机动目录上页下页返回结束
