可分离变量的方程(IV)

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1、一阶方程的一般形式为本节主要研究能把导数解出来的一阶方程的解法这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式几特殊类型的一阶微分方程的解法。所以本节只讨论特殊类型的一阶方程的求解一阶方程有时也可以写成如下的对称形式它既可视为以x为自变量以y为未知函数的方程也可以视为以y为自变量以x为未知函数的方程很重要的观点考虑方程或写成两边积分得但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解如困难就在于方程的右端含有未知函数积分求不出来为了解决这个问题方程的两边同乘以使方程变为这样变量x,y已经分离在等式的两端两边积分得或可以验证是方程的通解注y=0也是方程的解，但不包含在通

2、解中称为奇解一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.这类方程的特点是经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分解法分离变量法为微分方程的解.求解步骤分离变量两边积分得到隐式通解或通积分(或写成y(x)(y))讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程:微分方程分离变量是否可分离变量y2xy3x25xy0(x2y2)dxxydy=0y1xy2xy2y10xy是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10xdx————————例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C

3、为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)二、典型例题练习求解微分方程解分离变量两端积分例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为例3.求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:练习:解分离变量即(C<0)解由题设条件衰变规律例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少

4、?解设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到例6.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时三、小结分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.注分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于0）思考题求解微分方程思考题解答为所求解.练习题练习题答案