南工大高数A—2答案

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1、南京工业大学高等数学A-2试题（A、闭）卷解答2009--2010学年第2学期使用班级　江浦09级一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,总计15分)1、2、3、4、5、二、填空题(本大题共5小题,每小题3分，总计15分)1、2、3、4、5、三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设数量场求：(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。解：(1)；………4分(2)，故在点处方向导数的最大值为。………7分2、计算二次积分。解：=………4分==………7分3、求微分方程的通解。特征方程,对应齐

2、次方程的通解为（其中为任意常数）………4分因是特征根，设特解为，其中A为待定常数，代入原方程，得………6分从而得通解………7分4、计算积分，其中L是从点沿曲线到点的弧段。解：这里，。由于，可见不成立。………2分记，则。则曲线积分满足与路径无关的条件，选择与L起终点相同的直线段，有第3页共3页，而………6分故所求积分。………7分四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求，。解：………3分………7分2、计算曲面积分其中为曲面，取下侧。解：取平面，取上侧．则与构成封闭曲面，取

3、外侧．令与所围空间区域为，由Gauss公式，得………2分………7分3、求幂级数的收敛域及和函数，并数项级数的和。解：,,时原级数为收敛，故此幂级数的收敛域为。………2分设，,则………5分故………7分4、设是周期为的周期函数，且()，试将展开成傅立叶级数。解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点处不连续，因此，的傅立叶级数收敛于，在连续点收敛于。………2分若不计，则是周期为的奇函数。………3分………5分第3页共3页故………7分五、解答题(本题8分)已知曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，以为直径所作的圆均过点，求此曲线的方程。解：过点的切线方程，令

4、，即………2分由题意，得，化简，即（Bernoulli方程）………4分令，得，其通解为故原方程通解为，又，得。所以该曲线的方程为。………8分六、证明题(本题6分)已知正项级数收敛，证明数列收敛。证明：记因正项级数收敛，故，又，由正项级数比较审敛法的极限形式知级数也收敛并记其和为………4分即，于是，故数列收敛。………6分第3页共3页