[理学]同济大学高数课件ch

《[理学]同济大学高数课件ch》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节求导法则本节要点本节讨论函数的基本求导法则，进而得到基本初等函一、函数的线性组合、积、商的求导法则二、反函数的导数三、复合函数的导数数的求导公式，以及初等函数的导数计算方法，主要内容有:线性组合、积、商在点x处的导数.一、函数的线性组合、积、商的求导法则设函数在点x处可导，考虑这两个函数的1．设，则可导，且有事实上因此2．设函数，则可导，且有事实上因此3．设，则可导，且事实上于是因此解例1求的导数.解例2求的导数.同样有二、反函数的导数设函数在区间内单调、连续，则其反函单调、连续．此时若在区间内可导，且给x以增量，数在对应的区间内调性

2、知那么的可导性如何？由的单变形得到由函数的连续性可知，从而由此说明了函数在x处可导，且有简单地说，反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.内单调、可导，并且例3求反正弦函数的导数.所以，在区间内可导，且有解是在上的反函数.而在区间注意到在区间内，，从而例4求反正切函数的导数.解函数是在内的反函数，所以在内每一点可导，且可导，且而在内单调、注意到从而有同样可得其它几个反三角函数的导数公式:例5求对数函数的导数.解是的注意到从而有特别地，当时，有反函数，且直接函数在定义域内单调、可导，且基本初等函数的导数公式：三、复合函数的导数在众多的函数中，

3、我们遇见的更多的是复合函数．例如函数，这是一个极为简单的函数，但我们要求它的导数就没那么简单．事实上，由导数的乘积公式，得对一个如此简单的函数，求其导数都那么困难，这就提示我们有必要讨论复合函数的求导法则．复合函数求导法则如果函数在点可导，证设自变量在处有增量,则函数而函数在处可导，则复合函数增量在处可导，并且有有增量则函数有当时,有由函数的可导性可知，函数在是连续的，又因此当时，有，即得因此注此定理的证明是在条件下取得的，而当增量为零时(这是可能出现的)，上述证明不可行．关于该公式的完整证明，请点击．证设自变量在处有增量,则函数增量有增量

4、则函数有(1)当时，由极限的保号性可知，当充分小时，于是前面给出的证明适用，定理得证．(2)当时，此时当时，把的取值分两类，一类取值使对应的；另一类使对应的．当取那些使的值而趋于零时，由于故，即成立；当取那些使的值而趋于零时，由于其中，，因此即，不论取那类值趋于零时，总有，故此公式可以作进一步的推广:若均为可导函数，则相应的复合函数的导数为例6求函数的导数.解可以看成由复合而成，从而由复合函数的求导公式，得例7求函数的导数.解由，得例8求函数的导数.解例9求的导数．解由于由复合函数的求导公式，得例10求函数的导数.解解例11求函数的导数.所

5、以上例中的求导方法又称为对数求导法．除了应用于幂指函数外，此方法还经常应用于多个函数连乘的情况．例12求函数的导数.解对这一类函数尽管也可以用导数的四则运算来求得，但是比较繁琐，用对数求导法可大大简化计算．