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1、一、利用极坐标系计算二重积分1212∆σ=(r+∆r)⋅∆θ−r⋅∆θiiiiii22θ=θ+∆θr=r+∆rii1ii=(2ri+∆ri)∆ri⋅∆θir=ri2∆σir+(r+∆r)iii=∆r⋅∆θii2Dθ=θi=r⋅∆r⋅∆θ,iiioA∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.DD2010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)2分二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图r=ϕ(θ)r=ϕ(θ)12α≤θ≤β,Dϕ(θ)≤r≤ϕ(θ).β12αo
2、A∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθDβϕ2(θ)=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr.αϕ1(θ)2010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)3分r=ϕ(θ)区域特征如图1Dr=ϕ(θ)2α≤θ≤β,ϕ(θ)≤r≤ϕ(θ).β12αoA∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθDβϕ2(θ)=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr.αϕ1(θ)2010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)4分二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图r=ϕ(θ)Dα≤θ
3、≤β,0().β≤r≤ϕθαoA∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθDβϕ(θ)=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr.α02010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)5分二重积分化为二次积分的公式（３）r=ϕ(θ)区域特征如图D0≤θ≤2π,0≤r≤ϕ(θ).oA∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθD2πϕ(θ)=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr.00极坐标系下区域的面积σ=∫∫rdrdθ.D2010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)6分例1写
4、出积分∫∫f(x,y)dxdy的极坐标二次积分形D式，其中积分区域2D={(x,y)
5、1−x≤y≤1−x,0≤x≤1}.⎧x=rcosθ22x+y=1解在极坐标系下⎨⎩y=rsinθ所以圆方程为r=1,1x+y=1直线方程为r=,sinθ+cosθπ1f(x,y)dxdy2(cos,sin).∫∫=∫∫dθ1frθrθrdr0Dsinθ+cosθP1552010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)7分T12奇22−x−y例2计算∫∫edxdy，其中D是由中心在D原点，半径为a的圆周所围
6、成的闭区域.解在极坐标系下D：0≤r≤a，0≤θ≤2π.−x2−y22πa2edxdy−r∫∫=∫dθ∫erdr00D2−a=π(1−e).2010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)8分∞2−x例3求广义积分∫edx.0解D=xyx2+y2≤R2D2{(,)
7、}1S222SD2D2={(x,y)
8、x+y≤2R}DD11S={(x,y)
9、0≤x≤R,0≤y≤R}R2R{x≥0,y≥0}显然有D⊂S⊂D1222−x−y∵e>0,−x2−y2−x2−y222−x−y∴∫∫edxdy<∫∫e
10、dxdy<∫∫edxdy.D1SD22010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)9分22−x−y又∵I=∫∫edxdySR2R2R2−x−y−x2=∫edx∫edy=(∫edx);00022−x−yI=edxdy1∫∫D1πR22−r2π−R=∫dθ∫erdr=(1−e);004−x2−y2π2−2R同理I=edxdy=(1−e).2∫∫4D22010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)10分∵I11、;404ππ当R→∞时,I1→,I2→,44π∞2π−x2故当R→∞时,I→,即(∫edx)=,404∞−x2π所求广义积分∫edx=.022010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)11分22例4计算∫∫(x+y)dxdy，其D为由圆D2222x+y=2y，x+y=4y及直线x−3y=0，y−3x=0所围成的平面闭区域.πy−3x=0⇒θ=解2322x+y=4y⇒r=4sinθπx−3y=0⇒θ=1622x+y=2y⇒r=2sinθπ4sinθπ2232=15(−∫∫(x+y)dxd
12、y=∫∫πdθr⋅rdr3).2sinθ26D2010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)12分22sin(πx+y)例5计算二重积分∫∫dxdy,22x+yD22其中积分区域为D={(x,y)
13、1≤x+y≤4}.解由对称性，可只考虑第一象限部分，D1D=4D1注意：被积函数也要有对称性.2222sin(πx+y)sin(πx+y)∫∫22dxdy=4∫∫22dxdyDx+yDx+y1π2sinπr2=4∫dθ∫rdr=−4.01r2010年5月21日11时28二重积分的计算法(21)
